Математика – 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естественных наук, математики и информационных технологий ДВГГУ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: - один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.), - а второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи). Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема наблюдающуюся (вместе для с обратной) отношений показывает отрезков, закономерность, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника. На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором – продолжения всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелая) Пусть ABC пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A , то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице. Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут – получили противоречие. Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая. Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Решение. Запишем полученное в теореме соотношение, Менелая для треугольника ABMb и прямой McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья второе отношение равно 1 . Поэтому 2 2:1, что и требовалось доказать. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1 так, что точка C является серединой отрезка AB1. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье 1 , 2 таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1. Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке). Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева. Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке. Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи). Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан обозначим Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы. Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется условие Чевы: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 , то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая. Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы. Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим соотношение AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке. Задачи для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл., математический) 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин) 4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач. М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство треугольника. М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Указания: а) вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи. М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на описанной вокруг треугольника ABC окружности, на стороны или продолжения сторон треугольника опущены перпендикуляры, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров, проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов вписанного четырехугольника.

Три чевианы треугольника проходят через одну точку или параллельны тогда и только тогда, когда

Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые параллельны или пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

26. Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях , то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

где , и обозначают отношения направленных отрезков .

27. Биссектриса угла треугольника - это луч с началом в вершине угла треугольника, делящий угол на два равных угла

Теорема о биссектрисе:

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Дк-во:

Дано: , - биссектриса угла . Требуется доказать: .

Доказательство:

Проведем до пересечения с продолжением стороны . Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: . Сравнивая эту пропорцию с той, которую нужно доказать, замечаем, что они отличаются только отрезками и . Рассмотрим эти отрезки. Они входят в , в котором (как соответственные при и секущей ) и . Но ( - биссектриса), отсюда . Следовательно, . Заменим в полученной пропорции на : . Теорема доказана

Доказана.

27(2). . Пропорциональные отрезки - отрезки, для длин которых выполняется пропорция .

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Обобщенная теорема Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающиеся двумя данными прямыми, пересекаются с первой прямой в точках А, В, С, а со второй прямой соответственно в точках А 1 , В 1 , С 1 , то

Дк-во:

Проведем через точку А прямую АС1, параллельную прямой В D (С1- точка пересечения этой прямой с прямой С D ). Тогда треугольник ОАВ подобен треугольнику АСС1 по первому признаку подобия треугольников (угол О= углу САС1, угол ОАВ=углу С). Следовательно, ОА/АС=ОВ/АС1. Так как АС1=В D , то ОА/ОВ=АС/В D . Теорема доказана.

28. Отрезок АВ является средним пропорциональным (или средним геометрическим ) для отрезков АС и ВС, если:

Теорема:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

Дк-во:

Пусть прямой угол в треугольнике-С, катеты АС и ВС. Проведём из вершины прямого угла высоту СМ. Проекции катетов МА и МВ. Рассмотрим треугольники АВС И АМС. Они подобны по двум углам: оба прямые и угол А общий. Запишем отношение сторон АВ/АС= ВС/МС= АС/МА Имеем АС в квадрате= АМ*АВ. (х - есть среднее пропорциональное между а и в если выполняется а/х= х/в х^2=а*в.) Аналогично для треугольников АВС и ВМС ВС^2=АВ*ВМ.

Теорема:

Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы.

Дк-во:

Рассмотрим треугольники АСМ и ВСМ. Они оба подобны треугольнику АВС, а значит подобны между собой Запишем отношения сторон ВМ/СМ=СМ/АМ СМ^2=АМ*ВМ.

29. Синусом острого прямого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinA = BC / AB

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosA = AC / AB

Тангенсом острого прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

tgA = BC / AC

Основное тригонометрическое тождество:

Дк-во:

Пусть треугольник АВС прямоугольный (АВ-гипотенуза). sinA=ВС/АВ (1) cosA=AC/AB (2). Теперь докажем справедливость основного тригонометрического тождества: . Из формул (1) и (2) получаем: sin^2A+cos^2A=ВС^2/AB^2+AC^2/AB^2=BC^2+AC^2/AB^2. По теореме Пифагора BC^2+AC^2=AB^2, .

30.

31. касательной точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Дк-во:

Пусть р-касательная к окружности с центром О. А- точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р- касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна радиусу.

32. . Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Дк-во:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.

33. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом .

вписанным углом .

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дк-во:

Пусть /_ АВС- вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС . Докажем, что /_ АВС= ½ дуги АС. Решение. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому /_ АОС=дугеАС. Так как угол АОС- внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы ОВА и ВАО при основании р/б треугольника равны, то /_АОС= /_ОВА+/_ВАО=2/_ОВА. Отсюда следует, что 2/_ОВА=дугеАС или /_АВС=/_ОВА=1/2дугиАС. Теорема доказана.

34. центральнм углом .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .

Следствия из теоремы о вписанном угле:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность(диаметр)- прямой.

35. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .

Теорема о произведении отрезков двух хорд:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дк-во:

Пусть хорды АВ и С D пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ*ВЕ=СЕ* DE . Рассмотрим треугольники А DE и СВЕ. В этих треугольниках углы ЕА D и ЕСВ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу В D , а углы АЕ D и СЕВ равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников, треугольник ADE ~ треугольнику СВЕ. Отсюда следует, что АЕ/СЕ= DE / BE , или АЕ*ВЕ=СЕ* DE . Теорема доказана.

Помню, в школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы.... как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.

Я хочу показать вам, дорогие читатели, единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:

Пусть точки A",B",C" лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA",BB",CC" пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Прежде чем перейти к доказательству, замечу, что равенство в формулировке не такое уж заумное и трудно запоминающееся, как может показаться на первый взгляд. Действительно, чтобы получить это равенство, нам достаточно выбрать произвольную вершину треугольника, например, B, и начать обходить треугольник по часовой стрелке. Обойдя треугольник, мы пройдём по каждому из отрезков как раз в той последовательности, в которой они встречаются в равенстве.

Доказательство .

Прямая теорема.

С одной стороны,
S AOB"/S COB" =AB"/B"C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB" и COB", проведенных к основанию OB", равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.

Таким образом, AB"/B"C = S AOB/S COB.

Записав аналогичные равенства для отношений CA"/A"B и AC"/C"B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.

Обратная теорема.

Итак, допустим, у нас выбраны точки A", B", C" на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA" и BB" пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C"". Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C" будет точка C"". Исходя из выполнения этих двух равенств - с точкой C"", как мы показали, и с точкой C" из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C"" и C" совпадают.

Можно записать условие Чевы в форме синусов :
Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA" и ACA". Для них получаем A"B/AA"= sinBAA" /sinABA" и A"C/AA"=sinA"AC/sinA"CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A"B/A"C=sinBAA" /sinA"AC * (sinBCA/sinABC)

Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.

Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке - доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке - это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество -
sin(90 - a ) = cos a

мУНИЦИПАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЫ xxI ВЕКА»

Теорема Менелая и теорема Чевы и их применения

Попов Богдан Валерьевич

ученик 10 Б класса

МАОУ «Гимназия №2»

Руководитель:

Лысенко Надежда Анатольевна

Учитель высшей квалификационной категории

Г. Балаково. 2012г.

Введение 3 стр

Теорема Менелая 4 стр

Теорема Чевы 6 стр

Следствия теоремы Чевы 8 стр

Применение теорем Чевы и Менелая для решения 10 стр

геометрических задач

Заключение 14 стр

Список используемой литературы 15 стр

Введение

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.

Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.

Основная цель работы:

Анализ литературы по данной теме;

Теорема Менелая

Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. Название она получила в честь своего автора – древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (примерно 100 г. н.э.). Во многих случаях эта теорема помогает очень легко и изящно решать достаточно сложные геометрические задачи.

Теорема: Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ABC взяты соответственно точки , и , не совпадающие с вершинами ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Доказательство:

Сначала докажем необходимость . Пусть точки лежат на прямой l и = , = , = - пер пендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на прямую l (см. рисунок 1). Из подобия треугольников и получаем:

Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, полу-

Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.

Достаточность . Пусть точки A1, В1, С1 (рис. 2), лежащие на прямых ВС, AC, AB, таковы, что

Докажем, что точки , , лежат на одной прямой.

Проведем прямую и докажем, что точка С ей принадлежит.

Предположим, что это не так. Сначала заметим, что прямая не па раллельна прямой AB. Пусть Т - точка пересечения прямых и AB (см. рисунок 2). Тогда

Теперь докажем, что точка совпадает с точкой С. Данное доказательство называют леммой к теореме Менелая.

Лемма . Пусть А и В - две различные точки. Тогда для любого k > 0, k≠1 на прямой AB существуют две и только две точки M и N такие, что , причем одна из этих точек принадлежит отрезку AB, а другая лежит вне отрезка AB.

Доказательство . Введем на прямой AB координаты, приняв точ¬ку А за начало координат (см. рисунок 3). Пусть для определенности k > 1. Координата искомой точки U, лежащей внутри отрезка AB, удовлетворяет уравнению: , откуда.

Теорема Чевы

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки (см рисунок 1)

При каком расположении этих точек прямые AA , BB и CC пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.).

Теорема : : Пусть точки лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА треугольника АВС (рис. 2). Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство :

Доказательство . Пусть отрезки , и пе ресекаются в точке М внутри треугольника АВС. Обозначим через площади треугольни ков АМС, СМВ и АМВ, а через- расстояния соответственно от точек А и В до прямой МС.

Аналогично, .

Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости теоремы.

Теорема Чевы в форме синусов .

В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие . . =1 можно записать также в виде: . . =1

Доказательство : можно воспользоваться равенствами:

Перемножая (1), (2), (3), получаем . . =1

Пространственное обобщение теоремы Чевы.

Теорема . Пусть М-точка внутри тетраэдра ABCD, - точки пересечения плоскостей CMD, AMD, АМВ и СМВ с ребрами (см. рисунок 3) АВ, ВС, CD и DA соответственно. Тогда

Обратно, если для точек, лежащих на соответствующих р ебрах, выполнено соотношение, то плоскости , , и проходят через одну точку .

Доказательство необходимости легко получить, если заметить, что точки (см. рисунок 3) лежат в одной плоскости (это плоскость, проходящая через прямые и , пересекающиеся в точке М), и применить теорему Менелая.

Обратная теорема доказывается так же, как и обратная теорема Менелая в пространстве: нужно провести плоскость через точки A1, B1, С1 и доказать с помощью леммы, что эта плоскость пересечет ребро DA в точке D1.

Следствия теорем ы Чевы

Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство . Проведем доказательство, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA, BB,CC – медианы ABC (рис.20) . Так как AC=CB, BA=AC, AB=BC, то =1, = 1, = 1. Тогда . . , т.е. для точек A,B,C, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие . . =1 ; по теореме Чевы AA, BB,CC пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).

Рассмотрим BBC, точки A,O,A лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB,BC и продолжение стороны BC (в дальнейшем будем называть ее секущей). A BC, O BB, ABC.

По теореме Менелая, =.

Следствие 2 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:

так как AA – биссектриса, то = ; так как BB- биссектриса, то ; так как СС – биссектриса, то . Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим . . = . . = 1, то есть для точек A, B, C выполняется равенство Чевы, значит, AA, BB,CC пересекаются в одной точке.

Следствие3 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство : Пусть AA, BB,CC – высоты ABC .

1) Если ABC остроугольный (рис. 22), то точки A, B, C лежат на его сторонах. ACC -прямоугольный, AC = AC cosA;

BCC- прямоугольный, BC = BC cosB; BAA – прямоугольный, BA= AB cosB;

AAC- прямоугольный, AC=AC cosC; CB=CB cosC; AB= AB cosA.

Тогда..== 1. А так как условие () выполняется, то

2) Пусть ABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из ACC AC=ACcosA; изСBC CB=CB cos (180-B)= -CB cosB (угол B тупой) ;

из ABA BA=AB cos(180-B)=-AB cosB; аналогично,

AB=AB cosA; BC= BC cosC; AC= AC cosC; CB=CBcosC.

Так как условие Чевы выполняется, то AA, BB, CC пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA,BB,CC пересекаются в одной точке.

3) Если ABC прямоугольный, С=90(рис.3) , то очевидно, что высоты BC,AC,CC пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.

Следствие4 . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим серединный MNK(вершины-середины сторон ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK||AC, NM||BC, KM||AB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты MNK. А в MNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.

Следствие 5 . Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).

Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB=AC=x, CB=BA=y, AC=BC=z.

, по теореме Чевы AA, BB, CC пересекаются в одной точке.

Применение теорем Чевы и Менелая для решения геометрических задач.

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач Задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью этих теорем.

Задача 1 . В треугольнике ABC , описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A и C – точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB . Q –точка пересечения отрезков AA и BH ,где BH - высота. Найдите отношение BQ : QH .

Решение :

Треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой B.

1. Пусть CB = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):

BA=x, AC=BC=12-x, AC=AB=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, CB =BA= 8, AC=AB= 5, CA=CB=4.

2. По формуле Герона

S=, BH =, BH = .

3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора

4. В треугольнике CBH прямая AA пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

1, ..=1, ..=1, = .

Ответ : 162:53.

Задача 2 . Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые BM и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .

Решение : если MD=b , то AM=pb ; если NC = a , то DN = aq .

Пусть B – точка пересечения прямых BM и CD.

MBD ~ BBC, тогда;

; 1+ p = ; x = .

Прямая BB пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая

Задача 3 . Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами , и . Причем на продолжении ребра взята точка так, что . Через точки , и середину ребра проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?

Решение:

1) Построение сечения:

а) , соединяемMB, .

б) , соединяем, .

в) , соединяем.

г) четырехугольник – искомое сечение.

2) Пусть, – объемы нижней части, верхней части и всей призмы, – высота призмы, – сторона основания.

MLA ~ ;

Рассмотрим ABC , – секущая, .

По теореме Менелая.

– части приходится на. .

Ответ : 13:23

Заключение

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.

Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

Теоремы Чевы и Менелая помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Список используемой литературы.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с.

2. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский дом «Первое сентября», 2004, – №13. – с.23-26

3. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

«Математическое просвещение» – М.: Издательство Московского центра

непрерывного математического образования, 2002. – 32с.

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)

1. Введение;

2. Обобщение теоремы Фалеса;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

3. Теорема о пропорциональных отрезках;

4. Теорема Чевы;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

5. Теорема Менелая;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

6. Задачи и их решения;

7. Источники информации;

Введение.

Мой реферат посвящен применению подобия к доказательству теорем и решению задач, а именно глубоко изучить обобщение теоремы Фалеса, теоремы Чевы и Менелая, которые не изучаются в школьной программе. Теме подобия, которая проходится в восьмом классе, отведено всего лишь 19 часов, что недостаточно для изучения этой темы более углубленно. В тему подобия входят: определение подобных треугольников, признаки подобия, отношение площадей подобных треугольников, средняя линия треугольника, пропорциональные отрезки и т.д.

Напомню определение подобных треугольников :

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Оказывается, что у подобных треугольников не только отношение сходственных сторон, но и отношение любых других сходственных отрезков равно коэффициенту подобия. Например, отношение сходственных биссектрис AD и A 1 D 1 , т.е. биссектрис равных углов A и A 1 в подобных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , равно коэффициенту подобия k, отношение сходственных медиан AM и A 1 M 1 равно k и точно так же отношение сходственных высот AH и A 1 H 1 равно k.

С помощью данного материала, который изучается в школьной программе, мы можем решать довольно узкий круг задач. При создании своего реферата я собираюсь углубить свои знания по данной теме, что позволит решать более широкий круг задач на пропорциональные отрезки. В этом и заключается актуальность моего реферата.

Одна из теорем – это обобщение теоремы Фалеса. Сама теорема Фалеса проходится в восьмом классе. Но главными теоремами являются теоремы Чевы и Менелая.

Обобщение теоремы Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Доказать:

=…= .

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что

2 случай

Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому

Отсюда по свойству пропорций получаем:

(1)

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2=В1В2, С2С3=В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2 на В1В2 и С2С3 на В2В3, приходим к равенству

(2)

что и требовалось доказать.

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Доказать:

Доказательство:

Через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то

Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:

Аналогично доказывается, что

.

Теорема Чевы.

Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 и В 1 , то отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

(3)

Доказать:

(3)

2.отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке

Доказательство:

1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:

и .

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

.

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

. (4)

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству

= , которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке O. Теорема доказана.