Мы знаем, что такое конус, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько теста пойдет на изготовление вафельного рожка? Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную крышу замка?
Измерить площадь боковой поверхности конуса просто так не получится. Но представим себе все тот же рожок, обмотанный тканью. Чтобы найти площадь куска ткани, нужно разрезать и разложить ее на столе. Получится плоская фигура, ее площадь мы сможем найти.
Рис. 1. Разрез конуса по образующей
Сделаем так же с конусом. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например, (см. рис. 1).
Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем сектор. Центр этого сектора - вершина конуса, радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги совпадает с длиной окружности основания конуса. Такой сектор называется разверткой боковой поверхности конуса (см. рис. 2).
Рис. 2. Развертка боковой поверхности
Рис. 3. Измерение угла в радианах
Попробуем найти площадь сектора по имеющимся данным. Сперва введем обозначение: пусть угол при вершине сектора в радианах (см. рис. 3).
С углом при вершине развертки нам придется часто сталкиваться в задачах. Пока же попробуем ответить на вопрос: а не может ли этот угол получиться больше 360 градусов? То есть не получится ли так, что развертка наложится сама на себя? Конечно же, нет. Докажем это математически. Пусть развертка «наложилась» сама на себя. Это означает, что длина дуги развертки больше длины окружности радиуса . Но, как уже было сказано, длина дуги развертки есть длина окружности радиуса . А радиус основания конуса, разумеется, меньше образующей, например, потому, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы
Тогда вспомним две формулы из курса планиметрии: длина дуги . Площадь сектора: .
В нашем случае роль играет образующая , а длина дуги равна длине окружности основания конуса, то есть . Имеем:
Окончательно получаем: .
Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить площадь основания. Но основание - это круг радиуса , чья площадь по формуле равна .
Окончательно имеем: , где - радиус основания цилиндра, - образующая.
Решим пару задач на приведенные формулы.
Рис. 4. Искомый угол
Пример 1 . Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с углом при вершине. Найти этот угол, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см (см. рис. 4).
Рис. 5. Прямоугольный треугольник, образующий конус
Первым действием, по теореме Пифагора, найдем образующую: 5 см (см. рис. 5). Далее, мы знаем, что .
Пример 2 . Площадь осевого сечения конуса равна , высота равна . Найти площадь полной поверхности (см. рис. 6).
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: урок изучения нового материала с применением элементов проблемно-развивающего метода обучения.
Цели урока:
- познавательные:
- ознакомление с новым математическим понятием;
- формирование новых ЗУН;
- формирование практических навыков решения задач.
- развивающие:
- развитие самостоятельного мышления учащихся;
- развитие навыков правильной речи школьников.
- воспитательные:
- воспитание навыков работы в коллективе.
Оборудование урока: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, модель конуса, презентация к уроку, раздаточный материал.
Задачи урока (для учащихся):
- познакомиться с новым геометрическим понятием - конус;
- вывести формулу для вычисления площади поверхности конуса;
- научиться применять полученные знания при решении практических задач.
Ход урока
I этап. Организационный.
Сдача тетрадей с домашней проверочной работой по пройденной теме.
Учащимся предлагается узнать тему предстоящего урока, разгадав ребус (слайд 1) :
Рисунок 1.
Объявление учащимся темы и задач урока (слайд 2) .
II этап. Объяснение нового материала.
1) Лекция учителя.
На доске – таблица с изображением конуса. Новый материал объясняется в сопровождении программного материала «Стереометрия». На экране появляется трёхмерное изображение конуса. Учитель даёт определение конуса, рассказывает о его элементах.(слайд 3) . Говорится о том, что конус – это тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника относительно катета. (слайды 4, 5). Появляется изображение развёртки боковой поверхности конуса. (слайд 6)
2) Практическая работа.
Актуализация опорных знаний: повторить формулы для вычисления площади круга, площади сектора, длины окружности, длины дуги окружности. (слайды 7–10)
Класс делится на группы. Каждая группа получает вырезанную из бумаги развёртку боковой поверхности конуса (сектор круга с присвоенным номером). Учащиеся выполняют необходимые измерения и вычисляют площадь полученного сектора. Инструкции по выполнению работы, вопросы – постановки проблем – появляются на экране (слайды 11–14) . Результаты вычислений представитель каждой группы записывает в заготовленную на доске таблицу. Участники каждой группы склеивают модель конуса из имеющейся у них развёртки. (слайд 15)
3) Постановка и решение проблемы.
Как вычислить площадь боковой поверхности конуса, если известны только радиус основания и длина образующей конуса? (слайд 16)
Каждая группа производит необходимые измерения и пытается вывести формулу вычисления искомой площади с помощью имеющихся данных. При выполнении этой работы школьники должны заметить, что длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора – развёртки боковой поверхности этого конуса. (слайды 17–21) Используя необходимые формулы, выводится искомая формула. Рассуждения учащихся должны выглядеть примерно таким образом:
Радиус сектора – развёртки равен l, градусная мера дуги – φ. Площадь сектора вычисляется по формуле длина дуги, ограничивающей этот сектор, равна Радиус основания конуса R. Длина окружности, лежащей в основании конуса, равна С = 2πR. Заметим, что Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развёртки его боковой поверхности, то
Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S БПК = πRl.
После вычисления площади боковой поверхности модели конуса по выведенной самостоятельно формуле представитель каждой группы записывает результат вычислений в таблицу на доске в соответствии с номерами моделей. Результаты вычислений в каждой строке должны быть равны. По этому признаку учитель определяет правильность выводов каждой группы. Таблица результатов должна выглядеть таким образом:
|
№ модели |
I задание |
II задание |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Параметры моделей:
- l=12 см, φ =120 °
- l=10 см, φ =150 °
- l=15 см, φ =120 °
- l=10 см, φ =170 °
- l=14 см, φ =110 °
Приближённость вычислений связана с погрешностями измерений.
После проверки результатов вывод формул площадей боковой и полной поверхностей конуса появляется на экране (слайды 22–26) , ученики ведут записи в тетрадях.
III этап. Закрепление изученного материала.
1) Учащимся предлагаются задачи для устного решения на готовых чертежах.
Найти площади полных поверхностей конусов, изображённых на рисунках (слайды 27–32) .
2) Вопрос: равны ли площади поверхностей конусов, образованных вращением одного прямоугольного треугольника относительно разных катетов? Учащиеся выдвигают гипотезу и проверяют её. Проверка гипотезы осуществляется путём решения задач и записывается учеником на доске.
Дано: Δ АВС, ∠С=90°, АВ=с, АС=b, ВС=а;
ВАА", АВВ" – тела вращения.
Найти: S ППК 1 , S ППК 2 .
Рисунок 5. (слайд 33)
Решение:
1) R=ВС= а ; S ППК 1 = S БПК 1 + S осн 1 = π а с+π а 2 = π а (а + с).
2) R=АС= b ; S ППК 2 = S БПК 2 + S осн 2 = π b с+π b 2 = π b (b + с).
Если S ППК 1 = S ППК 2 , то а 2 +ас = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Т.к. a, b, c – положительные числа (длины сторон треугольника), торавенство верно только в случае, если a = b.
Вывод: Площади поверхностей двух конусов равны только в случае равенства катетов треугольника.(слайд 34)
3) Решение задачи из учебника: № 565.
IV этап. Подведение итогов урока.
Домашнее задание: п.55, 56; № 548, № 561. (слайд 35)
Объявление поставленных оценок.
Выводы по ходу урока, повторение основных сведений, полученных на уроке.
Литература (слайд 36)
- Геометрия 10–11 классы – Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М., «Просвещение», 2008.
- «Математические ребусы и шарады» – Н.В. Удальцова, библиотечка «Первого сентября», серия «МАТЕМАТИКА», выпуск 35, М., Чистые пруды, 2010.
Здесь представлены задачи с конусами, условие связано с его площадью поверхности. В частности в некоторых задачах стоит вопрос об изменении площади при увеличении (уменьшении) высоты конуса или радиуса его основания. Теория для решения задач в . Рассмотрим следующие задачи:
27135. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна:
Подставляем данные:
75697. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз, а радиус основания останется прежним?
Площадь боковой поверхности конуса:
Образующая увеличивается в 36 раз. Радиус остался прежним, значит длина окружности основания не изменилась.
Значит площадь боковой поверхности изменённого конуса будет иметь вид:
Таким образом, она увеличится в 36 раз.
*Зависимость прямолинейная, поэтому эту задачу без труда можно решить устно.
27137. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?
Площадь боковой поверхности конуса равна:
Радиус уменьшается в 1,5 раза, то есть:
Получили, что площадь боковой поверхности уменьшилась в 1,5 раза.
27159. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на Пи.
Полная поверхность конуса:
Необходимо найти радиус:
Известна высота и образующая, по теореме Пифагора вычислим радиус:
Таким образом:
Полученный результат разделим на Пи и запишем ответ.
76299. Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
Сечение проходит через середину высоты параллельно основанию. Значит радиус основания и образующая отсеченного конуса будут в 2 раза меньше радиуса и образующей исходного конуса. Запишем чему равна площадь поверхности отсечённого конуса:
Получили, что она будет в 4 раза меньше площади поверхности исходного, то есть 108:4 = 27.
*Так как исходный и отсечённый конус являются подобными телами, то также можно было воспользоваться свойством подобия:
27167. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на Пи.
Формула полной поверхности конуса:
Радиус известен, необходимо найти образующую.
По теореме Пифагора:
Таким образом:
Результат разделим на Пи и запишем ответ.
Задача. Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания. Найдите чему равен косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания.
Площадь основания конуса равна:
Площадь поверхности конуса (или просто поверхность конуса) равна сумме площадей основания и боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S = πRl , где R - радиус основания конуса, а l - образующая конуса.
Так как площадь основания конуса равна πR 2 (как площадь круга), то площадь полной поверхности конуса будет равна: πR 2 + πRl = πR (R + l ).
Получение формулы площади боковой поверхности конуса можно пояснить такими рассуждениями. Пусть на чертеже изображена развёртка боковой поверхности конуса. Разделим дугу АВ на возможно большее число равных частей и все точки деления соединим с центром дуги, а соседние - друг с другом хордами.
Получим ряд равных треугольников. Площадь каждого треугольника равна ah / 2 , где а - длина основания треугольника, a h - его высота.
Сумма площадей всех треугольников составит: ah / 2 n = anh / 2 , где n - число треугольников.
При большом числе делений сумма площадей треугольников становится весьма близкой к площади развёртки, т. е. площади боковой поверхности конуса. Сумма оснований треугольников, т. е. an , становится весьма близкой к длине дуги АВ, т. е. к длине окружности основания конуса. Высота каждого треугольника становится весьма близкой к радиусу дуги, т. е. к образующей конуса.
Пренебрегая незначительными различиями в размерах этих величин, получаем формулу площади боковой поверхности конуса (S):
S = Cl / 2 , где С - длина окружности основания конуса, l - образующая конуса.
Зная, что С = 2πR, где R - радиус окружности основания конуса, получаем: S = πRl .
Примечание. В формуле S = Cl / 2 поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы это равенство считать приближённым. Но в старших классах средней школы доказывается, что равенство
S = Cl / 2 точное, а не приближённое.
Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.
Впишем в конус (рис.) какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.
Тогда боковая поверхность её выразится произведением 1 / 2 р l .
Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р
будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l
будет иметь пределом образующую конуса (так как из ΔSAK следует, что SA - SK
1 / 2 р
l
, будет стремиться к пределу 1 / 2 С
L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:
S = 1 / 2 С L = С 1 / 2 L
Следствия.
1) Так как С = 2π
R, то боковая поверхность конуса выразится формулой:
S = 1 / 2 2π R L = π RL
2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:
T = π RL + π R 2 = π R(L + R)
Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
Впишем в усечённый конус (рис.) какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р 1 и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.
Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна 1 / 2 (р + р 1) l
При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р 1 стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С 1 окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному (С + С 1) L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь:
S = 1 / 2 (С + С 1) L
Следствия.
1) Если R и R 1 означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет:
S = 1 / 2 (2π R + 2π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Если в трапеции OO 1 А 1 А (рис.), от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:
ВС = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),
R + R 1 = 2ВС.
Следовательно,
S = 2π BC L,
т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.
3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так:
T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
