ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
Число e
Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.
Следующее появление числа снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы равнобочной гиперболы на промежутке от 1 до равна 1. Это свойство делает основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.
Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида . И снова появляется десятичный логарифм , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к , но само число остается неузнанным).
В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работу Logarithmotechnia , которая содержит разложение в ряд . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию . Число явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.
Удивительно, что число в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти
Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между 2 и 3, и это мы можем рассматривать как первое приближение числа . Хотя мы принимаем это за определение , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.
Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения мы находим, что , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.
Мы знаем, что число появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение . Наконец у появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.
В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium . В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.
Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что
неудивительно, что обозначение также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в
Introductio in Analysin infinitorum
он дал полное обоснование всем идеям, связанным с . Он показал, что
Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа :
правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.
Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил
Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность . Действительно, если бы непрерывная дробь для , продолжалась так же, как в приведенном образце, 6,10,14,18,22,26, (каждый раз прибавляем по 4), то она никогда бы не прервалась, и (а значит, и ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность .
Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа . В действительности, нужно около
120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа .
В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано
В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.
Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным.
Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма .
y(x) = e x , производная которой равна самой функции.Экспоненту обозначают так ,
или .
Число e
Основанием степени экспоненты является число e
. Это иррациональное число. Оно примерно равно
е
≈ 2,718281828459045...
Число e
определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел
:
.
Также число e
можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
График экспоненты, y = e x .
На графике представлена экспонента, е
в степени х
.
y(x)
= е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .
;
;
;
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a
через экспоненту:
.
Частные значения
Пусть y(x)
= e x
.
Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y(x)
= e x
определена для всех x
.
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞
.
Ее множество значений:
0
< y < + ∞
.
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
Обратная функция
Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.
Производная экспоненты
Производная е
в степени х
равна е
в степени х
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера
:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
;
;
.
Выражения через тригонометрические функции
;
;
;
.
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Все знают геометрический смысл числа π - это длина окружности с единичным диаметром:
А вот смысл другой важной константы, e , имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590... (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.
Число e по определению - предел функции y = (1 + 1 / x ) x при x → ∞:
| x | y | |
| 1 | (1 + 1 / 1) 1 | = 2 |
| 2 | (1 + 1 / 2) 2 | = 2,25 |
| 3 | (1 + 1 / 3) 3 | = 2,3703703702... |
| 10 | (1 + 1 / 10) 10 | = 2,5937424601... |
| 100 | (1 + 1 / 100) 100 | = 2,7048138294... |
| 1000 | (1 + 1 / 1000) 1000 | = 2,7169239322... |
| ∞ | lim × → ∞ | = 2,7182818284590... |
Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.
Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.
Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = k x . Эта функция обладает уникальным свойством при k = e , которое можно показать графически так:
В точке 0 функция принимает значение e 0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e 1 = e . Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e ). В точке 2 значение e 2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.
Среди всех функций y = k x (например, 2 x , 10 x , π x и т. д.), функция e x - единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (e x )´ = e x . Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.
Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.
Числа π и e входят в мою любимую формулу - формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант - ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е :
e iπ + 1 = 0
Почему число 2,7182818284590... в комплексной степени 3,1415926535...i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.
Число появилось сравнительно недавно. Его иногда называют "неперовым числом" в честь изобретателя логарифмов шотландского математика Джона Непера (1550-1617), однако необоснованно, так как нет твёрдых оснований для утверждения, что Непер имел о числе е чёткое представление" . Впервые обозначение "е " ввёл Леонард Эйлер (1707-1783). Он также вычислил точные 23 десятичные знака этого числа, использовав представление числа е в виде бесконечного числового ряда: полученное Даниилом Бернули (1700-1782). "В 1873 году Эрмит доказал трансцендентность числа е .Л. Эйлер получил замечательный результат, связывающий числа е , p, и: . Ему принадлежит и заслуга определения функции для комплексных значений z , что положило начало математическому анализу в комплексной области - теории функций комплексного переменного" . Эйлером были получены следующие формулы: Рассматривают логарифмы по основанию е , называемые натуральными и обозначаются Lnx .
Способы определения
Число e может быть определено несколькими способами.
Через предел:
(второй замечательный предел) .
Как сумма ряда:
Как единственное число a , для которого выполняется
Как единственное положительное число a , для которого верно
Свойства
Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция, где c - произвольная константа.
Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e - нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
См. формула Эйлера, в частности
Ещё одна формула, связывающая числа е и р , т. н. "интеграл Пуассона" или "интеграл Гаусса"
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
Представление Каталана:
История
Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы "Описание удивительной таблицы логарифмов" (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа "Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически" 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c , буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential ("показательный", "экспоненциальный"). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой "свободной" буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler ) [источник не указан 334 дня ] .
Обычный снос разрядов в числе. Когда записывается 4,47 · 10^8, подразумевается снос плавающей запятой на 8 разрядов вперёд - в данном случае это будет число 447 с 6 нулями впереди, т.е. 447.000.000 . В программировании могут использоваться E-значения, причём e нельзя писать само по себе , но E - можно (но не везде и не всегда, об этом будет отмечено ниже), т.к. предпоследнее может ошибочно принятым за число Эйлера . Если нужно записать огромное число сокращённо, может использоваться стиль 4,47·E8 (альтернативный вариант для производства и мелкошрифтной печати - 4,47×E8), чтобы число читалось более разгружено и разряды указывались более обособленно (между арифметическими знаками ставить пробелы нельзя - в противном случае, это математическое условие, а не число).
3,52E3 - это хорошо для записи без индексов, но читать разрядное смещение будет сложнее. 3,52 · 10^8 - условие, т.к. требует индекса и отсутствует мантисса (последнее существует только у оператора, а это - расширенный множитель). " · 10" - процесс стандартного (основного) операционного умножения, число после ^ - показатель сноса разрядов, поэтому его не нужно делать мелким, если необходимо писать документы в данной форме (соблюдая надстрочное положение), в некоторых случаях, желательно использовать масштаб в районе 100 - 120%, а не стандартные 58%. Используя мелкий масштаб для ключевых элементов условия, снижается визуальное качество цифровой информации - придётся всматриваться (может быть и не нужно, но факт остаётся фактом - «прятать» условия мелким шрифтом не нужно, можно было вообще «закопать» - сокращать масштаб отдельных элементов условия это неприемлемо, особенно на компьютере), чтобы заметить «сюрприз», а это очень вредно даже на бумажном ресурсе.
Если процесс умножения выполняет особые операции, то в таких случаях использование пробелов может быть избыточным, т.к. помимо умножения чисел, множитель может быть связывающим звеном для огромных и мелких чисел, химэлементов и т.д. и т.п., которые нельзя записать десятичной дробью обычных чисел или невозможно записать конечным результатом. Это может не касаться записи с " · 10^y", т.к. любое значение в выражении выполняет роль множителя, а "^y" - степень, указываемая надстрочным способом, т.е. является числовым условием. Но, убрав пробелы вокруг множителя и записав иначе - будет ошибкой, т.к. оператор отсутствует. Сам отрывок записи " · 10" - множитель-оператор + число, а не первый + второй оператор. Здесь и есть основная причина того, почему с 10-кой так нельзя. Если после числового оператора нет особых значений, т.е. нечисловых, но системных, то данный вариант записи не может быть оправдан - если есть системное значение, то такое значение должно подходить под определённые задачи с числовым или практическим сокращением чисел (для определённых действий, например, 1,35f8, где f - какое-либо уравнение, созданное для практических специальных задач, которое выводит действительные числа в результате конкретных практических опытов, 8 - значение, которое подставлено как переменное к оператору f и совпадает с числами при последовательном изменении условий наиболее удобным образом, если эта задача архиважная, то такие данные значения могут быть использованы со знаком без пробелов). Кратко, для подобных арифметических операций, но с другими целями, также можно проделывать с плюсами, минусами и делителями, если в этом есть крайняя необходимость для создания новых или упрощения существующих способов записи данных с сохранением точности на практике и может являться применимым числовым условием для определённых арифметических целей.
Итог: официально утверждённую форму экспоненциальной записи рекомендуется писать с пробелом и масштабом надстрочного шрифта в 58% и смещением в 33% (если изменение масштаба и смещения разрешается другими сторонами уровень в 100 - 120%, то можно установить 100% - это самый оптимальный вариант записи надстрочных значений, оптимальное смещение - ≈ 50%). На компьютере можно использовать 3,74e+2, 4,58E-1, 6,73·E-5, E-11, если последние два формата поддерживаются, на форумах лучше отказаться от e-сокращений по известным причинам, а стиль 3,65·E-5 или 5,67E4 может быть полностью понятным, исключения могут составлять лишь официальные сегменты общественности - там только с " · 10^x ", причём вместо ^x - используется только надстрочная запись степени .
Короче говоря, E является суперсокращением для десятичного антилогарифма, который часто помечают, как antilog либо antilg. Например, 7,947antilg-4 будет равен тому же, что и 7,947E-4. На практике это гораздо практичнее и удобнее, чем тягать «десятку» с надстрочным знаком степени лишний раз. Это можно назвать «экспоненциальным» логарифмическим видом числа как альтернативный вариант менее удобному «экспоненциальному» классическому. Только вместо «antilg», используется «E» либо сразу идёт второе число с пропуском (если число положительное) либо без него (на десятисегментных научных калькуляторах, типа "Citizen CT-207T").
