Данная статья может помочь учащимся старших классов, а также учителям при решении тригонометрических уравнений и отборе корней, принадлежащих определенному промежутку. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.
Просмотр содержимого документа
«СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Попова Татьяна Сергеевна, учитель математики, информатики, физики МКОУ БГО Петровская СОШ
В ЕГЭ по математике входят задания, связанные с решением уравнений. Встречаются уравнения линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Эти уравнения требуется: во-первых, решить, то есть найти их все решения, во-вторых, осуществить отбор корней, принадлежащие тому или иному промежутку. В этой статье рассмотрим пример решения тригонометрического уравнения и отбор его корней различными способами. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.
Рассмотрим три способа отбора корней:
С помощью единичной окружности;
С помощью неравенств;
С помощью графика.
На конкретном примере разберем эти способы.
Пусть дано следующее задание:
а) Решите уравнение
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Вначале решим данное уравнение:
Используя формулу двойного угла и формулы привидения, получим:
Отсюда, или. Решая каждое уравнение, получим:
;
или
.
б) Производить отбор корней можно с помощью единичной окружности (рис.1), но дети путаются, так как заданный промежуток может быть больше длины окружности и его при нанесении на окружность трудно изобразить:
Получим числа:
Можно воспользоваться методом неравенств. Заметим, что если дан отрезок, то неравенство нестрогое, а если интервал, то неравенство строгое. Проверим каждый корень
С учетом того, что -3,-2. Подставим n в формулу корней, получим корни ; x =
Аналогично найдем корни для,
k – целых нет,
1, подставим в общий корень
Получили точно такие же корни как с помощью единичной окружности.
Пусть этот метод более громоздкий, но на собственном опыте, занимаясь решением таких уравнений и отбором корней с учениками, мы заметили, что методом неравенств школьники делают меньше ошибок.
Рассмотрим на этом же примере отбор корней уравнения с помощью графика (рис.2)
Также получаем три корня:
Нужно научить детей пользоваться всеми тремя методами отбора корней, а потом пусть сами решают как им проще и какой метод ближе. Также можно проверять себя в правильности решения, используя разные способы.
Используемая литература:
http://yourtutor.info
http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matematike
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : Урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.
Цель урока:
- образовательная: закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности; стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
- развивающая: развивать логическое мышление, умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
- воспитательная: воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка готовности к уроку, приветствие.
II. Постановка цели.
Французский писатель Анатоль Франс однажды сказал: «…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.» Так давайте сегодня последуем этому мудрому совету и будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в ближайшее время на ЕГЭ.
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки отбора корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности. Окружность удобно использовать как при отборе корней на промежутке, длина которого не превышает 2π, так и в случае, когда значения обратных тригонометрических функций не являются табличными. При выполнении заданий будем применять не только изученные методы и способы, но и нестандартные подходы.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Решите уравнение: (Слайд 3-5)
a) cosx = 0
б) cosx = 1
в) cosx = - 1
г) sinx = 1
д) sinx = 0
е) sinx = - 1
ж) tgx = 1
з) tgx = 0
2. Заполните пропуски: (Слайд 6)
sin2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =
3. Покажите на числовой окружности следующие отрезки (Слайд 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].
4. Применяя теорему Виета и её следствия, найдите корни уравнений: (Слайд 8)
t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0
IV. Выполнение упражнений.
(Слайд 9)
Многообразие методов преобразований тригонометрических выражений подталкивает нас к выбору более рационального из них.
1. Решите уравнения : (Один ученик решает на доске. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения и записывают в тетрадь. Учитель следит за верностью рассуждений учащихся. )
1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; - 2π].
Решение.
[-7π/2; -2π]
Получим числа: - 7π/2; -19π/6;-5π/2.
Ответ: а) π /2+ πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) - 7π/2, -19π/6,-5π/2.
2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].
Решение.
a ) Разделим обе части уравнения на cos 2 x =0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]
Получим числа: - π+ arctg 3 ; -π/4; arctg 3.
Ответ: а) - π /4+ πn , arctg 3+ πn , n Є Z ; б) - π+ arctg 3 , -π/4, arctg 3.
3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [π; 3π].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]
Получим числа: π; 4π/3; 8π/3; 3π.
Ответ: а) π +2 πn , ±2 π /3+2 πn , n Є Z ; б) π, 4π/3, 8π/3, 3π.
4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π ;7π/2] .
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [; 7π/2]
Получим числа: 9π/4; 3π- arctg 5;1 3π/4.
Ответ: а) π /4+ πn , - arctg 5+ πn , n Є Z ; б) 9π/4, 3π- arctg 5, 1 3π/4.
5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2 π; -π/2]
Получим числа: -5π/3;- π .
Ответ: а) π +2 πn , ± π /3+2 πn , n Є Z ; б) -5π/3;- π .
2. Работа в парах : (Двое учащихся работают на боковых досках, остальные в тетрадях. Затем задания проверяются и анализируются.)
Решите уравнения:
Решение .
Учитывая, что tgx ≠1 и tgx >0, отберём корни с помощью числовой окружности. Получим:
x = arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
Ответ: arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
6соs2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; - π/2].
Решение.
a ) 6(cos 2 x - sin 2 x )-14 cos 2 x -14 cosxsinx =0; 6 cos 2 x -6 sin 2 x -14 cos 2 x -14 cosxsinx =0;
3 sin 2 x +7 cosxsinx +4 cos 2 x =0 Разделим обе части уравнения на cos 2 x=0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]
Получим числа: -5 π /4;- π - arctg 4/3.
Ответ: а) - π /4+ πn , - arctg 4/3+ πn , n Є Z ; б) -5π/4, - π - arctg 4/3.
3. Самостоятельная работа . (После выполнения работы учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работу своего одноклассника, исправляя ошибки (если таковы есть) ручкой с красной пастой.)
Решите уравнения:
1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Решение.
a ) 2(1- sin 2 x )+2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; 2-2 sin 2 x +2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; -2 sinx (sinx -1)-√2(sinx -1)=0;
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Получим числа: -11 π /4;-9 π /4.
Ответ: а) π /2+2 πn , - π /4+2 πn , -3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) -11π/4, -9 π /4 .
2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Укажите корни, принадлежащие отрезку
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: 13 π /4;3 π ;4 π .
Ответ: а) πn , ±3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) 13 π /4,3 π , 4 π .
3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].
Получим числа: -19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.
Ответ: а) π /2+2 πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) -19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.
V. Подведение итогов урока.
Отбор корней в тригонометрических уравнениях требует хороших знаний формул, умений применять их на практике, требует внимания и сообразительности.
VI. Стадия рефлексии.
(Слайд 10)
На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме
выразить своё отношение к изучаемому материалу.
Например:
Окружность.
Числовая, тригонометрическая.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует в ЕГЭ.
Реальность.
VII. Домашнее задани e .
1. Решите уравнения:
2. Практическое задание.
Составьте по два тригонометрических уравнения, содержащих формулы двойного аргумента.
VIII. Литература.
ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:АСТ: Астрель, 2013.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
1. Вычислите: б) arccos в) arcsin 2 д) arccos е) ar с ctg а) arcsin (-1) г) arctg (не существует); (не существует);
2. Решить уравнения: б) sin х = в) cos х = 0; г) tg x = а) cos x = - 1;
1. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности. Пример 1 . cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. Решение. cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x) = 0, 2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x – sin x) = 0,
Изобразим серии корней на тригонометрическом круге. 0 x y Видим, что первая серия () включает в себя корни второй серии (), а третья серия () включает в себя числа вида из корней первой серии (). 0
Пример 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. Решение.
tg x · tg 2 x · tg 3 x = 0; Изобразим ОДЗ и серии корней на числовой окружности. 0 x y 0 Из второй серии корней () числа вида не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида. входят в третью серию () Первая серия () так же входит в третью серию корней (), поэтому ответ можно записать одной формулой.
Пример 3. Решение. Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет. Нанесем на числовую окружность все числа серии и исключим корни, удовлетворяющие Оставшиеся решения из серии корней можно объединить в формулу 0 x y 0 условию
2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом Пример 1. Решение. Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, то уравнение равносильно системе Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение Получаем Итак,
Пример 2. Решение. Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение где целое число. тогда Пусть Итак,
3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями Пример 1. Найти корни уравнения sin 2 x = cos x | cos x |, удовлетворяющие условию x . cos x (2sin x - | cos x |)=0; Решение. sin 2 x = cos x | cos x |; 2sin x · cos x - cos x | cos x |=0;
0 y x 0 y x cos x ≥ 0 cos x
Пример 2 . Найти все решения уравнения принадлежащие отрезку Решение. ОДЗ: cos 3x ≥ 0; Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге: 0 y x Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; sin 2x = cos 6x; sin 2 x - cos 6 x =0;
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =2, то есть Из второй серии: Следовательно n =5, то есть
Пример 3. Найти все корни уравнения которые удовлетворяют условию Решение. 10sin 2 x = – cos 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x С помощью числовой окружности получим:
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть Из второй серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
