«Арифметические способы решения текстовых задач». Методика решения текстовых задач арифметическим способом

Решение задач алгебраическим способом (с помощью уравнений) По учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича

учитель математики МОУ «ЛСОШ №2»

г. Лихославль Тверской области

Цели: - показать правило решения задач алгебраическим способом; - формировать умение решать задачи арифметическим и алгебраическим способами.

Способы

решения задач

Арифметический (решение задачи по действиям)

Алгебраический (решение задачи с помощью уравнения)

Задача №509

Прочитайте задачу.

Постарайтесь найти разные способы решения.

В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше, чем в другой.

1 способ решения

(смотреть)

3 способ решения

(смотреть)

2 способ решения

4 способ решения

1 способ (арифметический)

• 16 – 4 = 12 (кг) – печенья останется в двух коробках, если из первой коробки достать 4 кг печенья.

• 12: 2 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

• 6 + 4 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

Ответ

В решении использован способ уравнивания .

Вопрос : почему он получил такое название?

Назад )

2 способ (арифметический)

• 16 + 4 = 20 (кг) – печенья станет в двух коробках, если во вторую коробку добавить 4 кг печенья.

• 20: 2 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

• 10 - 4 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

Ответ : масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй 6 кг.

В решении использован способ уравнивания .

Назад )

3 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья во второй коробке буквой х кг. Тогда масса печенья в первой коробке будет равна (х +4) кг, а масса печенья в двух коробках – ((х +4)+ х ) кг.

(х +4)+ х =16

х +4+ х =16

2 х +4=16

2 х =16-4

2 х =12

х =12:2

Во второй коробке было 6 кг печенья.

6+4=10 (кг) – печенья было в первой коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Задание : Объясните, в чем отличие арифметического способа от алгебраического?

Назад )

4 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья в первой коробке буквой х кг. Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (х -4) кг, а масса печенья в двух коробках – (х +(х -4)) кг.

По условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Получаем уравнение:

х +(х -4)=16

х + х -4=16

2 х -4=16

2 х =16+4

2 х =20

х =20:2

В первой коробке было 10 кг печенья.

10-4=6 (кг) – печенья было во второй коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Назад )

• Какие два способа решения задачи были использованы?
• Что собой представляет способ уравнивания?
• Чем первый способ уравнивания отличается от второго?
• В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Как можно уравнять количество денег в обоих карманах?
• В чем заключается алгебраический способ решения задачи?
• Чем отличается 3 способ решения задачи от 4-го?
• В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Известно, что меньшее количество денег обозначили переменной х . Как будет выражаться через х
• Если за х обозначить большее количество денег в кармане, тогда как будет выражаться через х количество денег в другом кармане?
• В магазине шампунь стоит на 25 руб дороже, чем в супермаркете. Обозначьте одну переменную буквой у и выразите другую стоимость через эту переменную.

Задача №510

Решите задачу арифметическим и алгебраическим способами.

С трех участков земли собрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собрали поровну, а с третьего – на 12 ц больше, чем с каждого из двух первых. Сколько картофеля собрали с каждого участка.

Алгебраический способ

(смотреть)

Арифметический способ

(смотреть)

выход )

Арифметический способ

• 156 - 12 = 144 (ц) – картофеля собрали бы с трех участков, если бы урожайность всех участков была бы одинаковой.

• 144: 3 = 48 (ц) – картофеля собрали с первого и собрали со второго участков.
• 48 + 12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ

Назад )

Алгебраический способ

Пусть с первого участка собрали х ц картофеля. Тогда со второго участка собрали тоже х ц картофеля, а с третьего участка собрали (х +12) ц картофеля.

По условию со всех трех участков собрали 156 ц картофеля.

Получаем уравнение:

х + х + (х +12) =156

х + х + х + 12 = 156

3 х +12 = 156

3 х = 156 – 12

3 х = 144

х = 144: 3

С первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля.

48 +12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ : с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего участка собрали 60 ц картофеля.

Назад

Обобщение опыта.

Текстовые задачи в школьном курсе математики.

Арифметические способы решения задач.

Солдатова Светлана Анатольевна

учитель математики первой категории

МОУ Угличский физико-математический лицей

2017 г.

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

С термином «задача» мы постоянно сталкиваются в повседневной жизни. Каждый из нас решает те или иные проблемы, которые мы называем задачами. В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком .

Задачи, в которых объекты - математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, свойства и признаки изучаемого математического понятия, геометрической фигуры), часто называют математическими задачами . Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.

Решая текстовые задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой - пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России, - почти исключительно российский феномен.

Одной из причин большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ проверкой полученного результата.

К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу, на растворы и сплавы, на прямую и обратную пропорциональность и т. д.

К этому времени была хорошо разработана методика их применения в учебном процессе, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.

А ведь именно текстовые задачи и арифметические способы их решения готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра научит более простым, чем арифметические, способам решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:

1) ,

2) ,

3) 15 – 6 = 9.

Хочу отметить, что я являюсь представителем именно того поколения школьников, которые были участниками вышеуказанной реформы. Я пошла в школу в 1968 году, и мой учебник в первом классе назывался «Арифметика». Оказывается, мы были последние, кто по нему учился. Во втором классе для меня было удивительным и необычным то, что предмет, а соответственно и учебник, моих подружек-первоклассниц назывался «математика». В третьем классе и мы уже учились по «математике». В среднем звене, а соответственно в старших классах, основным способом решения текстовых задач являлся алгебраический. Влияние реформы конца 60-х я ощущаю по сей день, т.к. у родителей, принимающих участие в учебном процессе детей, в силу того, что у них выработался определённый стереотип, сформировалось мнение, что задачи нужно решать именно с помощью уравнений. Мамы и папы, не зная других приёмов, настойчиво пытаются дома объяснить по-своему, что не всегда приносит пользу, даже порой только усложняет работу учителя.

Ни в коем случае нельзя умалять ценность алгебраического способа решения задач, который является универсальным и порой единственным при решении более сложных задач. К тому же, довольно часто именно уравнение даёт подсказку для нахождения способа решения по действиям. Но практика показала, что раннее применение этого перспективного, с точки зрения дальнейшего использования в обучении, способа решения задач без достаточной подготовки малоэффективно.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять максимальное внимания и не торопиться переходить к решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, что находится в результате каждого действия. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе.

Очень часто можно видеть, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводится абстрактная переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что у детей такого возраста развито наглядно-образное мышление. А уравнение - абстрактная модель. Да и инструменты для решения уравнений у детей пятого, начала шестого класса отсутствуют. Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать такими понятиями как «часть», «куча» и т.п. Ребенок должен пройти тот же путь!

Для успешной работы важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами.

Много лет назад у меня в руках оказалось уже давно выпущенное пособие для учителей 5-8 классов (в современной школе – 5-9 классов) «Сборник московских математических олимпиад (с решениями)» 1967 г.в., автор которого - Галина Ивановна Зубелевич. Подавляющее большинство задач в нем решено арифметически, что меня очень заинтересовало. Позднее моё внимание привлекли два учебных пособия «Арифметика,6» , и «Арифметика,6» автор А.В. Шевкин, и пособие для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» того же автора. Эти источники стали для меня началом работы над данной темой. Предложенные идеи мне показались очень актуальными и созвучными с моим пониманием заявленной темы, а именно:

1) отказ от использования уравнений на ранней стадии обучения и возвращение к более широкому применению арифметических способов решения задач;

2) более широкое использование «исторических» задач и Старинных способов их решения;

3) отказ от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы и рассмотрение цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных.

Типы текстовых задач по способу решения.

Текстовые задачи можно условно разделить на арифметические и алгебраические. Данное разделение обусловлено выбором способа решения, более характерного (рационального) для той или иной задачи.

Арифметические задачи таят в себе огромные возможности для того, чтобы научить школьников самостоятельно думать, анализируя неочевидные жизненные ситуации. Арифметика - самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с самыми простыми, самыми фундаментальными, экспериментальными фактами (например, что пересчёт

камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному

результату):

5+5+5 = 3+3+3+3+3.

Рассмотрим некоторые виды задач.

«Куплено на одинаковую сумму два сорта товара, первого сорта вдвое меньше, чем второго. Их смешали и продали половину смеси по цене высшего, остальное - по цене низшего сорта. Сколько процентов прибыли или убытка получено при продаже?»

Это, по существу, типичная задача, решающаяся введением произвольных единиц меры. Однако и при этом условии необходимое для решения оперирование неизвестными величинами носит здесь отчётливо выраженный алгебраический характер. Наряду с этим часто встречаются задачи, в которых, наоборот, арифметический путь решения значительно проще алгебраического. Это может зависеть от двух причин. В одних случаях переход от известного к неизвестному настолько прост, что составление уравнений (переход от неизвестного к известному) внесло бы ненужную громоздкость, замедляющую процесс решения. Такова, например, следующая задача:

«Однажды Черт предложил Бездельнику заработать. - Как только ты перейдёшь через этот мост, - сказал он – деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?»

Вторая - классическая задача, интересная парадоксальностью формулировки условия. Этапы «синтетического» решения развёртываются в ней, как и в предыдущей задаче, в порядке, противоположном ходу описанных событий.

«Торговка яйцами продала первому покупателю половину всего числа имевшихся в её корзине яиц и ещё пол-яйца; второму покупателю - половину остатка и ещё пол-яйца, третьему - половину остатка и ещё пол-яйца, после чего у неё ничего не осталось. Сколько яиц было в корзине в начале?»

В других случаях составление уравнения требует проведения такого рассуждения, которое само по себе достаточно для достижения цели. Это-арифметические задачи в полном смысле этого слова: алгебраическое их решение не легче, а труднее и обычно сопряжено с введением лишних неизвестных, которые потом приходится исключать, и т.п.

Так, если, например, в задаче «Таня сказала: у меня на 3 брата больше, чем сестёр. На сколько в Таниной семье братьев больше, чем сестёр?» обозначить число братьев через x, число сестёр через y, то уравнение будет x − (y − 1) = 3, но если мы уже догадались, что надо написать y−1 (сестра сама себя не считала), то и так ясно, что братьев не на 3, а только на 2 больше, чем сестёр.

Приведём ещё несколько примеров.

«Я грёб вверх по течению и, проезжая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения реки?»

Решение: 1 (60:(10+10))=3(км/ч)

«К моему приезду на станцию за мной обычно высылали машину. Приехав однажды на час раньше, я пошёл пешком и, встретив посланную за мной машину, прибыл с ней на место на 10 мин раньше обычного срока. Во сколько раз машина идёт быстрее, чем я пешком?»

Рассмотрим решение данной задачи по действиям:

1) 10:2=5 (мин) – время, которое оставалось машине для приезда на станцию в срок от места встречи.

2) 60-5=55 (мин) - время, которое затратил пешеход на то же расстояние.

3) 55:5=11(раз) машина едет быстрее.

«Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению на лодке, требуется времени втрое меньше, чем против течения. Во сколько раз скорость движения лодки больше скорости течения?»

В этой задаче надо догадаться перейти от времени к расстояниям.

Это очень хорошие арифметические задачи: они требуют ясного представления о соответствующей конкретной ситуации, а не действий по заученным формальным образцам.

Вот ещё пример арифметической задачи, для решения которой не надо производить никаких «действий»:

« Какой-то озорник из бутылки с дегтем перелил ложку дегтя в банку с медом. Перемешал тщательно, а затем такую же ложку смеси перелил из банки в бутылку с дегтем. Затем он проделал это ещё раз. Чего получилось больше: меда в бутылке с дегтем или дегтя в банке с медом? »

Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девался из бутылки дёготь, который был вытеснен мёдом?

Это не алгебра, не приведение подобных членов и не «перенесение из одной части в другую с обратным знаком». Это как раз та логика, связанная с воображаемыми, но имеющими в области изучаемых величин вполне реальное значение операциями, развитие и совершенствование которой входит в прямые задачи арифметики.

Разграничения между арифметическими и алгебраическими по своему характеру задачами являются как бы несколько размытыми, так как они зависят от количественных признаков, в оценке которых можно расходиться, подобно тому как нельзя провести грань между «несколькими зёрнами» и «кучей зёрен».

Остановимся подробнее на видах текстовых задач и способах их решения. Рассмотрим те задачи, которые многие склонны решать с помощью уравнений, а они при этом имеют простые и порой очень красивые решения по действиям.

1. Нахождение задач по их кратному отношению и сумме или разности (на «части»).

Знакомство с такими задачами надо начинать с тех, где речь идёт о частях в чистом виде. При их решении создаётся основа для решения задач на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходиться на другую величину, на их сумму (разность).

а) Для варенья на 2 части клубники берут 3 части сахара. Сколько сахара нужно взять на 3 кг клубники?

б) Купили 2700 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши – 3 части, сливы – 2 части. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности?

в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось. Сколько страниц в книге, если она прочитала на 42 страницы меньше?

Решение данной задачи желательно начинать с чертежа:

1) – приходиться на 42 страницы.

2) – 1 часть, или столько страниц прочитала девочка.

3) – в книге.

В дальнейшем ученики смогут решать и более сложные задачи.

в) Задача С.А. Рачинского. Я провел год в Москве, в деревне и в дороге - и притом в Москве в 8 раз больше времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней я провел в дороге, в Москве и в деревне?

г) При уборке урожая в совхозе ученики собрали помидоров в 2 раза больше, чем огурцов, и в 3 раза меньше, чем картофеля. Сколько овощей в отдельности собрали ученики, если картофеля было собрано на 200 кг больше, чем помидоров?

д) Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».

е) Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое – в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найти эти числа.

Задачи на делении числа в данном отношении относятся к данному типу.

2. Нахождение двух чисел по их сумме и разности.

а) В двух пачках 50 тетрадей, причём в первой пачке на 8 тетрадей больше. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Решение задач такого вида я обязательно начинаю с чертежа. Затем предлагаю уравнять величины. Ребята предлагают два способа: убрать из первой пачки или добавить во вторую. Так определяются основные два способа: через удвоенное меньшее число или удвоенное большее число.

Когда эти способы будут отработаны, уместно показать «старинный» способ решения задач такого вида. После вопроса «Каким образом можно уравнять стопки тетрадей, и при этом общее количество тетрадей не изменилось?» учащиеся догадываются, как это сделать, и делают вывод: чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы вычесть полуразность, а, чтобы найти большее число, надо к полусумме прибавить полуразность. Сильные учащиеся могут обосновать этот способ с помощью преобразования буквенных выражений:

С применением данного способа следующая задача решается в одно действие:

б) Среднее арифметическое двух чисел равно 3, а их полуразность равна 1. Какова величина меньшего числа?

– меньшее число.

Приём уравнивания применим и в задаче:

в) 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За это время каждому телёнку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый телёнок и каждая овца?

3. Задачи на «предположение».

Задачи такого типа связаны с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. В традиционной методике задачи такого типа имели и другие названия по наиболее известным задачам: на «синее и красное сукно», на «смешение ΙΙ рода». Думаю, что самой известной среди задач на «предположение» является старинная китайская задача.

а) В клетке сидят фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Представьте, что в клетке сидят только фазаны. Сколько у них ног?

Почему ног меньше? (Не все фазаны, среди них есть кролики). На сколько ног больше?

Если одного фазана заменить на кролика, то на сколько увеличится число ног? (На 2)

Можно выбрать другой способ, представив, что все кролики.

Очень интересно другое рассуждение, данное старыми мастерами методики математики и вызывающее у детей большой интерес.

- Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
2·35= 70(н.)
- Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

- Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.

- Сколько их?
94 – 70 = 24(н.)
- Сколько же кроликов?
24:2 = 12
А фазанов?
35 – 12 = 23

Усвоив алгоритм рассуждения, ребята легко решают и следующие задачи:

б) Смешали 135 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 540р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 5р., а фунт второго сорта стоил 3р.?

в) На 94р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2р., а за аршин красного сукна платили по 4р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?

г) Хозяин купил 112 баранов старых и молодых и заплатил 49р. 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько и каких баранов было куплено? Алтын – 3 копейки, полушка – четверть копейки.

Интересной мне показалась задача из статьи И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач» (1946г.) про вагоны:

д) «Проезжая мимо станции, я заметил стоящий на станции товарный поезд из 31 вагона и услышал разговор смазчика со сцепщиком. Первый сказал: „105 осей всего пришлось проверить“. Второй заметил, что в составе много четырёхосных вагонов-втрое больше, чем двухосных, остальные трёхосные. На следующем перегоне я захотел, от нечего делать, подсчитать, сколько каких вагонов было в этом составе. Как это сделать?»

Арифметическое решение - проще алгебраического и требует отчётливого представления о том, что двухосные и четырёхосные входят в состав (в количественном отношении) определенными группами (по 4 вагона). Воображаемая «замена» всех вагонов трёхосными- обычный и уже хорошо знакомый учащимся приём.

Вспомогательным средством может служить графическое линейное отображение условий задачи.

4. Задачи на движение.

Данные задачи являются традиционно трудными. У учащихся должны быть хорошо сформированы такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Когда ученики научатся решать такие задачи с помощью уравнения, им будет гораздо проще добраться до ответа. Но легче - не значит полезнее. Много лет назад один мой ученик, довольно-таки сильный в математике, на уроке увлечённо искал арифметический способ решения задачи, в то время, когда весь класс её решил с помощью уравнения. Я хорошо запомнила его слова, очень мне понятные: «А мне не интересно уравнением».

Приведу условия и решение нескольких задач.

а) Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

Решение:

1) на столько отстал второй поезд.

2) – скорость удаления.

3) был в пути первый поезд.

4) расстояние от Москвы до Твери .

б) Два самолёта вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один – со скоростью 350 км/ч, другой – со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолёт догонит первый?

Решение:

1) скорость удаления.

2) – на столько отстал второй самолёт.

3) скорость сближения.

4) столько времени потребуется, чтобы второй самолёт догнал первый.

5) (км) – на таком расстоянии до Москвы второй самолёт догонит первый.

в) Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, вышли два автомобиля навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Если скорость первого автомобиля уменьшить на 15%, а скорость второго увеличить на 20%, то встреча произойдёт тоже через 4 ч. Найти скорость каждого автомобиля.

Решение:

Примем за 100% или за 1 скорость первого автомобиля.

1) скорость сближения.

2) – составляет скорость второго от скорости первого.

3) приходится на скорость сближения.

4) скорость первого автомобиля.

5) скорость второго автомобиля .

г) Поезд за четверть минуты проходит мимо телеграфного столба, а за 50 с – мост длиною 0,7 км. Вычислить среднюю скорость движения поезда и его длину.

Решение: При решении данной задачи учащиеся должны понять, что, пройти мост – пройти путь, равный длине моста и длине состава, пройти мимо телеграфного столба – пройти путь, равный длине состава.

1) поезд проходит путь, равный длине моста.

2) – скорость поезда.

3) длина поезда.

д) На прохождение пути между двумя пристанями пароходу необходимо на 40 мин больше, чем катеру. Скорость катера 40 км/ч, а парохода – 30 км/ч. Найти расстояние между пристанями.

Решение: 40 мин ч

1) отставание парохода.

2) – скорость удаления

2) – был в пути катер.

3) расстояние между пристанями.

Это лишь несколько задач на движения из их огромного многообразия. На их примере я хотела показать, как можно обойтись без уравнений, пока умения их решать у учащихся не сформированы. Естественно, такие задачи под силу сильным ученикам, но это большая возможность для их математического развития.

5. Задачи на «бассейны».

Это ещё один тип задач, вызывающий и интерес, и трудности у детей. Его можно назвать и задачами на совместную работу, к ним относится и часть задач на движение.

Название данного типа даёт не без известная старинная задача:

а) В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить бассейн в 1ч, другая, более тонкая, в 2 ч, третья, ещё более тонкая, в 3ч. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполнят бассейн?

Решение:

1) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙ трубу трубу.

2) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙΙ трубу.

3) (в./ч) – общая скорость.

4) (ч) – заполнят водоём 3 трубы.

Можно предложить детям ещё одно интересное решение:

За 6 часов через Ι трубу заполняется 6 водоёмов, через ΙΙ трубу – 3 водоёма, через ΙΙΙ трубу – 2 водоёма. Все трубы за 6 ч заполнят 11 водоёмов, соответственно на заполнение одного водоёма потребуется ч.

Аналогичное решение имеет следующая задача:

б) Лев съел овцу одни часом, а волк съел овцу за два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколько бы они скоро, все три – лев, волк и пёс – ту овцу съели, сочти. (Математические рукописи 17 века).

в) Один человек выпьет кадь пития за 14 дней, а со женою выпьет туже кадь за 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (из «Арифметики» Магницкого)

Решение:

1) (ч) – выпивают в день вместе.

) (ч) – выпивает в день муж.

3) (ч) – выпивает в день жена.

4) (д.) – потребуется жене, чтобы выпить кадь пития.

г) Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? (решение аналогичное)

д) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришёл в А? (ч) - будут работать вместе.

7) – потребуется для разгрузки баржи.

6. Задача Ньютона.

Особый интерес у ребят вызывает задача о коровах, поедающих траву. Задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, но с той поры она не утратила своей актуальности и является одной из красивых арифметических задач, которую хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений. Мне приходилось наблюдать, как над ней ломают голову старшеклассники, вводя несколько переменных, и в то же время легко разбираются в решении пятиклассники, если им подсказать идею решения.

7) (п.) – буде съедено в день, а это и есть количество коров.

Ответ: 20 коров.

В данной работе приведены примеры и разобраны лишь некоторые из огромного количества текстовых задач.

В завершении хотелось бы отметить, что необходимо приветствовать различные способы решения задач. Именно решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны деятельности. Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Литература.

1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Известия АПН РСФСР. 1946. - Вып. 6 - С. 8-28.

2. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1971.

3. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: Галс плюс,1998.

4 . Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары , курсы повышения квалификации , профессиональная переподготовка и профессиональное обучение . Низкие цены. Более 7900 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1.1 Понятие текстовой задачи

1.2 Виды арифметических задач

1.3 Роль задачи в математике

1.4 Этапы решения текстовых задач и приемы их выполнения

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач

2.4 Задачи на проценты

2.5 Задачи на совместную работу

Заключение

Литература

Введение

Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума. У.У. Сойер

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, т. е. развивает естественный язык. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, т.е, формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Текстовые задачи -- традиционно трудный, для значительной части школьников, материал. В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения, выполнить проверку полученного результата.

Цель моей выпускной работы -- исследование методики обучения решению текстовых задач арифметическим способом, рассмотреть структуру текстовой задачи, этапы решения задач арифметическим методом, показать трудности при решении задач, умение преодолевать эти трудности, применение арифметического способа решения текстовых задач из личной практики.

Объектом изучения является учебно-воспитательный процесс на уроках математики.

Задачи работы:

– проанализировать психолого-педагогическую литературу по данной теме; изучить научно-методическую литературу, направленную на обучение решению текстовых задач;

– рассмотреть характеристику текстовой задачи и методику работы с ней;

– показать применение арифметического способа при решении текстовых задач.

Структура работы. Моя работа состоит из введения, глав “Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней“ и “Обучение школьников приемам решения текстовых задач арифметическим способом“, заключения. В первой главе я рассмотрела понятие текстовой задачи, типы задач, что значит решить задачу, этапы процесса решения задачи арифметическими методами.Во второй главе я рассмотрела решение арифметическим способом текстовых задач на примере задач на движение, на нахождение дроби от числа и числа по величине его дроби, задач на процентные расчеты, на совместную работу; задачи, решаемые с помощью таблиц, среднее арифметическое в задачах. Старалась показать методику обучения учащихся решению текстовых задач, их место в учебно-воспитательном процессе на уроке. В своей работе я хочу показать конкретное применение арифметических способов решения текстовых задач, используя свой личный опыт.

По данной проблеме достаточно литературы. Проанализируя некоторые из них, хотелось бы отметить книгу С. Лукьяновой «Розв"язування текстових задач арифметичними способами». В книге рассматриваются разные арифметические способы решения текстовых задач и предлагаются оригинальные методики обучения этому учащихся 5-6-х классов. Автор рассматривает около 200 задач разных уровней сложности, к большинству которых предложено решение (к некоторым - несколько способов), каждое из которых реализуется только с помощью арифметических действий. В книге «Обучение решению текстовых задач. Книга для учителя», автор Шевкин А.В., подробно описаны предложения, возвращающие нас к лучшим традициям математического образования, о необходимости отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения. В учебном пособии Фридмана Л.М. «Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика» говорится, что при решении задач различными методами предпочтительнее выбирать тот, который распространяется на более широкий круг задач и есть целый ряд задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре, хотя не представляют трудности для арифметики.

В работе использовала материалы учебно-методической газеты «Математика» №23 - 2005 (Издательский дом «Первое сентября»), «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» (М.Е.Козина, М.Е.Фадеева - Волгоград, 2008г.), Методические рекомендации для 5-6 классов, Дидактические материалы для 5-6 классов (М.К.Потапов, А.В. Шевкин) и другие.

Глава I. Характеристика текстовой задачи и методика работы с ней

решение текстовый задача арифметический

Математика - это орудие для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений.

Работе с текстовыми задачами следует уделить достаточно много времени, обращая внимание детей на поиск и сравнение различных способов решения задачи, построение математических моделей, грамотность изложения собственных рассуждений при решении задач.

1.1 Понятие текстовой задачи

Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Эти задачи сформулированы на естественном языке, поэтому их называют текстовыми. В них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий, поэтому их часто называют сюжетными. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче и учитывая их» - отметил Л.М. Фридман в своей работе «Сюжетные задачи по математике».

Текстовая задача -- есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. Текстовые задачи могут быть абстрактного содержания, когда в тексте зависимости между числами описаны словесно (Найти два числа, если одно из них на 18 больше другого, а их сумма равна 80) или с определенным сюжетом (Билет для входа на стадион стоил 160 руб. После того, как плату за вход снизили, количество зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоит билет после снижения платы за вход?).

Каждая задача -- это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача -- это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ним определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса), причем условия и требования взаимосвязаны.

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи -- это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найдите скорость велосипедистов или « Сколько километров проходил турист в каждый из трех дней?»). Требований в задаче может быть несколько.

Рассмотрим задачу: Свитер,шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

Объекты задачи: шарф, шапка, свитер. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения: Свитер, шапка, шарф связаны из 1200 г шерсти.

На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования: Сколько шерсти израсходовали на свитер?

Сколько шерсти израсходовали на шапку?

Сколько шерсти израсходовали на шарф?

В задаче три неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины называется искомым.

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или все условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть, такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Сколько литров воды в каждой бочке, если в первой на 48 л больше, чем в другой?» - недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы решить эту задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Понимая роль задачи и ее место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и четко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

1.2 Виды арифметических задач

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, называется составной.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики -- понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и ее составными частями. В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению ее на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения ее в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи.

1.3 Роль задачи в математике

Значительное место в математике занимают текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, используются в целях уяснения доли, помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.

Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т. п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия имеют корни в реальной жизни, в практике людей. Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Содержание многих задач отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Задачи являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями. Решение задач -- упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но ипрокладывает пути к глубокому пониманию ее. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи дает импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углубленному изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира. Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей положительные качества характера и развивает их эстетически.

1.4 Этапы решения тестовых задач и приемы их выполнения

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка. Решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи, процесс нахождения результата. Причем этот процесс рассматривается двояко: метод нахождения результата и последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод. То есть в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу. Основными методами решения текстовых задач является арифметический и алгебраический. Решить задачу арифметическим способом -- это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Решение задач -- это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Рассмотрим пример: «Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот отработав 7 месяцев, захотел уйти и попросил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 рублей и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?».

Решение задачи: работник не получил 12 -- 5 = 7 (руб) за 12 - 7 = 5(месяцев),

поэтому за один месяц ему платили 7: 5 = 1,4 (руб),

а за 7 месяцев он получил 7 * 1,4 = 9,8 (руб),

тогда кафтан стоил 9,8 -- 5 = 4,8 (руб).

Ответ: стоимость кафтана 4,8 рублей.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

В расширенном виде решение текстовой задачи можно представить как последовательность таких этапов:

1) анализ задачи;

2) построение модели;

3) поиск способа решения (составление плана решения);

4) запись решения;

5) проверка решения;

6) исследование задачи и ее решения;

7) формулирование ответа;

8) учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Чаще всего реализуется только четыре этапа: анализ задачи, составление плана решения, запись решения, формулирование ответа, а на всех этапах останавливаются только при решении сложных, проблемных задач или задач, которые имеют определенные обобщающе -- теоретическое значение.

Анализ задачи всегда направлен на ее требование.

Цели этапа: - понять ситуацию, описанную в задаче;

Выделить условия и требования;

Назвать известные и искомые объекты;

Выделить все отношения (зависимости) между ними.

Чтобы разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования, нужно задать специальные вопросы:

1. О чем задача?

2. Что требуется найти в задаче?

3. Что означают те или иные слова в тексте задачи?

4. Что в задаче неизвестно?

5. Что является искомым?

Рассмотрим пример: «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4км/ч, а скорость второго 5км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Анализ задачи: 1) О чем эта задача?

Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

2) Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т. е. второй не догонит первого.

3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?

В задаче известно: а) мальчики идут в одном направлении;

б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2км;

в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4км/ч;

г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5км/ч;

д) скорость, с которой бежит собака, 8км/ч;

е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2км до момента встречи.

4) Что в задаче неизвестно?

В задаче неизвестно: а) время, за которое второй мальчик догонит первого (время движения всех его участников);

б) с какой скоростью происходит сближение мальчиков;

в) расстояние, которое пробежала собака (это требуется узнать в задаче).

5) Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Искомым является значение величины -- расстояние, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи.

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает прием -- перефразировка текста задачи. То есть из текста задачи отбрасывается все лишнее (не существенное), а описания некоторых понятий заменяют соответствующими терминами и наоборот заменяют некоторые термины описанием содержания соответствующих понятий.

Перефразировка текста задачи -- преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения. Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Для удобства понимания задачи можно ее записать в виде таблицы или схематического чертежа. И таблица и схематический чертеж являются вспомогательными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения. После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи показаны на модели;

2) все ли отношения между объектами отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое.

Поиск плана решения задачи

Цели этапа: установить связь между данными и исходными объектами;

наметить последовательность действий.

План решения задачи -- это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов. При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т. д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта. При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внимание на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т. д. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке. Разбор по тексту задачи: « На поезде, который шел со скоростью 56км/ч, турист проехал 6ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Рассуждения от данных к вопросу: известно: 6ч турист ехал на поезде;

скорость поезда 56км/ч.

По этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6ч (скорость умножить на время). Зная пройденную часть расстояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, чему оно равно (пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза)). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можно найти весь путь, выполнив сложение найденных отрезков пути.

Итак действия: 1) расстояние,которое турист проехал на поезде;

2) расстояние, которое ему осталось проехать; . 3) весь путь.

Рассуждение от вопроса к данным: В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. Значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось проехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче известно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь.

Осуществление плана решения задачи:

Цель этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решающих арифметическим способом, используются следующие приемы:

Запись по действиям(с пояснением, без пояснения, с вопросами);

Запись в виде выражения.

а) Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию: 1) 56*6 = 336(км) -- турист проехал за 6ч.

2) 336*4 = 1344(км) -- осталось проехать туристу;

3) 336 + 1344 = 1680(км) -- должен был проехать турист.

Если пояснения даются в устной форме (или совсем не даются), то запись будет следующей: 1) 56 * 6 = 336(км);

2) 336 * 4 = 1344(км);

3) 336 + 1344 = 1680(км)

б) Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько километров турист проехал на поезде?

56 * 6 = 336(км)

2) Сколько километров осталось проехать туристу?

336 * 4 = 1344(км)

3) Сколько километров турист должен был проехать?

336 + 1344 = 1680(км)

Проверка решения задачи:

Цель этапа: установить правильность или ошибочность выполнения решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные:

1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи. Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречия.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же результату, то задача решена верно.

1.5 Некоторые способы решения текстовых задач.

На основании похожести по математическому смыслу и взаимозаменяемости разных приемов решения все арифметические способы можно объединить в такие группы:

1) способ приведения к единице, приведение к общей мере, обратного приведения к единице, способ отношений;

2) способ решения задач с «конца»;

3) способ исключения неизвестных (замена одного неизвестного другим, сравнение неизвестных, сравнение данных, сравнение двух условий вычитанием, объединение двух условий в одно); способ предположения;

4) пропорциональное деление, подобие или нахождение частей;

5) способ преобразования одной задачи в другую (разложение сложной задачи на простые, подготовительные; приведение неизвестных к таким значениям, для которых становится известным их отношение; прием определения произвольного числа для одной из неизвестных величин).

Кроме названных способов целесообразно рассматривать еще способ среднего арифметического, метод излишек, способ перестановки известного и неизвестного, способ «фальшивых» правил.

Посколько обычно невозможно наперед определить, какой из способов является найрациональным, предвидеть, какой их них приведет к простейшему и самому понятному для ученика решению, то учащихся стоит познакомить с разными способами и давать им возможность самим выбирать, какой из них применить при решении конкретной задачи.

Способ исключения неизвестных

Этот способ используется, когда в задаче несколько неизвестных. Такую задачу можно решить с помощью одного из пяти приемов: 1) замена одного неизвестного другим; 2) сравнение неизвестных; 3) сравнение двух условий вычитанием; 4) сравнение данных; 5) объединение нескольких условий в одну.

В результате применения одного из перечисленных приемов вместо нескольких неизвестных остается одно, которое можно найти. Вычислив его, используют данные в условии зависимости для нахождения других неизвестных.

Остановимся детальнее на рассмотрении некоторых из приемов.

1. Замена одного неизвестного другим

Название приема раскрывает его идею: на основании зависимостей (кратных или разностных), какие даны по условию задачи, необходимо выразить все неизвестные через одно из них.

Задача. У Сергея и Андрея всего 126 марок. У Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея. Сколько марок было у каждого из мальчиков?

Краткая запись условия:

Сергей -- ? марок, на 14 марок больше

Андрей -- ? марок

Всего -- 126 марок

Решение 1.

(замена большего неизвестного меньшим)

1) Пусть у Сергея было столько марок, как и у Андрея. Тогда общее количество марок было бы 126 -- 14 = 112 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Андрея сначало: 112: 2 = 56 (марок).

3) Учитывая, что у Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея, получаем: 56 + 14 = 70 (марок).

Решение 2.

(замена меньшего неизвестного большим)

1) Пусть у Андрея было столько же марок, как и у Сергея. Тогда общее количество марок было бы 126 + 14 = 140 (марок).

2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Сергея сначало: 140: 2 = 70 (марок).

3) Учитывая, что у Андрея было на 14 марок меньше, чем у Сергея, получим: 70 -- 14 = 56 (марок).

Ответ: У Сергея было 70 марок, а у Андрея -- 56 марок.

Для наилучшего усвоения учащимися способа замены меньшего неизвестного большим перед его рассмотрением необходимо выяснить с учащимися такой факт:если число А больше числа В на С единиц, то чтобы сравнить числа А и В необходимо:

а) из числа А вычесть число С (тогда оба числа равны числу В);

б) к числу В прибавить число С (тогда оба числа равны числу А).

Умение учащихся заменять большее неизвестное меньшим, и наоборот, в дальнейшем способствует развитию умений выбирать неизвестное и выражать через него другие величины при составлении уравнения.

2. Сравнение неизвестных

Задача. На четырех полках стояло 188 книг. На второй полке книг было на 16 меньше, чем на первой, на третьей -- на 8 больше, чем на второй, а на четвертой -- на 12 меньше, чем на третьей полке. Сколько книг на каждой полке?

Анализ задачи

Для лучшего осознания зависимостей между четырьмя неизвестными величинами (количеством книг на каждой полке) используем схему:

I _________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнивая отрезки, которые схематически изображают количество книг на каждой полке, приходим к таким выводам: книг на первой полке на 16 больше, чем на второй; на третьей на 8 больше, чем на второй; на четвертой -- на 12 -- 8 = 4 (книг) меньше, чем на второй. Следовательно, задачу можно решить, сравнив количество книг на каждой полке. Для этого снимем с первой полки 16 книг, с третьей -- 8 книг и поставим на четвертую полку 4 книги. Тогда на всех полках будет одинаковое количество книг, а именно -- как на второй было сначало.

1) Сколько книг стоит на всех полках после описанных в анализе задачи операций?

188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книг)

2) Сколько книг было на второй полке?

168: 4 = 42 (книг)

3) Сколько книг было на первой полке?

42 + 16 = 58 (книг)

4) Сколько книг было на третьей полке?

42 + 8 = 50 (книг)

5) Сколько книг было на четвертой полке?

50 -- 12 = 38 (книг)

Ответ: На каждой из четырех полок было 58, 42, 50 и 38 книг.

Замечание. Можно предложить учащимся решить эту задачу другими способами, если сравнивать неизвестные количество книг, которые стояли на первой, или на второй, или на четвертой полках.

3. Сравнение двух условий вычитанием

В сюжет задачи, которая решается этим приемом, часто входят две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество работников и выполненная ими работа и т. п.). В условии дается два значения одной величины и разность двух пропорциональных к ним числовых значений другой величины.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 4кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 500 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

4кг ап. и 3кг бан. - 500 руб.

1) Сравним стоимость двух покупок. И в первый раз, и во второй раз покупали одинаковое количество апельсинов по одной и той же цене. Первый раз заплатили больше потому, что купили больше бананов. Найдем, на сколько килограммов бананов было куплено больше в первый раз: 5 -- 3 = 2 (кг).

2) Найдем, на сколько больше заплатили первый раз, чем во второй (то есть узнаем, сколько стоят 2кг бананов): 620 -- 500 = 120 (руб.).

3) Найдем цену 1кг бананов: 120: 2 = 60 (руб.).

4) Зная стоимость первой и второй покупок, можем найти цену 1кг апельсинов. Для этого сначало найдем стоимость купленных бананов, потом стоимость апельсинов, а потом цену 1кг. Имеем: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, а цена 1кг бананов -- 60 руб.

4. Сравнение данных

Применение данного приема дает возможность сравнить данные и применить способ вычитания. Сравнивать значения данных можно:

1) с помощью умножения (сравнивая их с наименьшим общим кратным);

2) с помощью деления (сравнивая их с наибольшим общим делителем).

Покажем это на примере.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 6кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 660 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,

6кг ап. и 3кг бан. - 660 руб.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наименьшим общим кратным: НОК(4;6) = 12.

Решение1.

1) Увеличим количество купленных фруктов и их стоимость в первом случае в 3 раза, а во втором -- в 2 раза. Получим такую краткую запись условия:

12кг ап. и 15кг бан. - 1860 руб,

12кг ап. и 6кг бан. - 1320 руб.

2) Узнаем, на сколько больше бананов купили первый раз: 15- 6 = 9(кг).

3) Сколько стоит 9кг бананов? 1860 -- 1320 = 540 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 540: 9 = 60(руб).

5) Найдем стоимость 3кг бананов: 60*3 = 180(руб).

6) Найдем стоимость 6кг апельсинов: 660 -- 180 = 480(руб).

7) Найдем цену 1кг апельсинов: 480: 6 = 80(руб).

Решение2.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наибольшим общим делителем: НОД (4; 6) = 2.

1) Чтобы уравнять количество апельсинов, купленных в первый раз и во второй раз, уменьшим количество купленного товара и его стоимость в первом случае в 2 раза, во втором -- в 3 раза. Получим задачу, которая имеет такую краткую запись условия

2кг ап. и 2,5кг бан. - 310 руб,

2кг ап. и 1кг бан. - 220 руб.

2) На сколько теперь бананов покупают больше: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).

3) Найдем, сколько стоит 1,5кг бананов: 310 -- 220 = 90 (руб).

4) Найдем цену 1кг бананов: 90: 1,5 = 60 (руб).

5) Найдем цену 1кг апельсинов: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, 1кг бананов -- 60 руб.

При решении задач с использованием приема сравнения данных можно не делать такого детального анализа и записей, а только сделать запись изменений, которые делали для сравнения, и записать их в виде таблицы.

5. Объединение нескольких условий в одно

Иногда избавиться от лишних неизвестных можно, объединив несколько условий в одно.

Задача. Туристы вышли из лагеря и сначала 4 часа шли пешком, а потом еще 4 часа ехали на велосипедах с некоторой постоянной скоростью и удалились от лагеря на 60км. Во второй раз они вышли из лагеря и сначала ехали на велосипедах с такой же скоростью 7 часов, а потом повернули в обратном направлении и, двигаясь пешком 4 часа, оказались на расстоянии 50км от лагеря. С какой скоростью туристы ехали на велосипедах?

В задаче два неизвестных: скорость, с какой туристы ехали на велосипедах, и скорость, с какой они шли пешком. Для того, чтобы исключить одно из них, можно объединить два условия в одно. Тогда расстояние, которое пройдут туристы за 4 часа, двигаясь вперед первый раз пешком, равно расстоянию, которое они прошли за 4 часа, двигаясь назад во второй раз. Поэтому на эти расстояния не обращаем внимания. Значит, расстояние, которое пройдут туристы за 4 + 7 =11 (час) на велосипедах, будет равно 50+60=110 (км).

Тогда скорость движения туристов на велосипедах: 110: 11 = 10 (км/ч).

Ответ.Скорость движения на велосипедах составляет 10 км/ч.

6. Способ допущения

Использование способа допущения при решении задач у большинства учащихся не вызывает трудностей. Поэтому, чтобы не возникало механического запоминания учащимися схемы шагов этого способа и непонимания сути выполненных действий на каждом из них, следует сначала показать учащимся способ проб («фальшивое правило» и «правило древних вавилонян»).

При использовании способа проб, в частности «фальшивого правила», одной из неизвестных величин дается («допускается») некоторое значение. Потом, используя все условия, находят значение другой величины. Полученное значение сверяют с тем, которое задано в условии. Если полученное значение отлично от данного в условии, то задаваемое первое значение не правильно и его необходимо увеличивать или уменьшать на 1, и снова находить значение другой величины. Так необходимо делать до тех пор, пока не получим значение другой величины такое, как в условии задачи.

Задача. У кассира есть 50 монет по 50копеек и по 10 копеек, всего на сумму 21 руб. Найдите, сколько было у кассира отдельно монет по 50к. и по 10к.

Решение1. (способ проб)

Воспользуемся правилом «древних» вавилонян. Предположим, что у кассира монет каждого номинала поровну, то есть по 25 штук. Тогда сумма денег будет 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 руб. Но в условии 21 руб, то есть больше, чем получили, на 21 грн -- 15 руб.= 6 руб. Значит, необходимо увеличивать количество монет по 50 копеек и уменьшать количество монет по 10 копеек, пока не получим в сумме 21 руб. Изменение количества монет и общую сумму запишем в таблицу.

Количество монет	Количество монет	Сумма денег	Сумма денег	Общая сумма	Меньше или больше, чем в условии
					Меньше на 6руб.
					Меньше на 5руб60к
					Как в условии

Как видно из таблицы, у кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Как выяснилось в решении 1, если бы у кассира было поровну монет по 50к. и по 10к., то всего у него было денег 15 руб. Легко заметить, что каждая замена монети 10к. на монету 50к. увеличивает общую сумму на 40к. Значит, необходимо найти, сколько необходимо сделать таких замен Для этого найдем сначала, на сколько денег необходимо увеличить общую сумму:

21 руб -- 15 руб. = 6 руб. = 600 к.

Найдем, сколько раз такую замену необходимо сделать: 600 к. : 40 к.=15.

Тогда по 50 к. будет 25 +15 =40 (монет), а монет по 10 к. останется
25 -- 15 = 10.

Проверкой подтверджается, что общая сумма денег в этом случае равна 21 руб.

Ответ: У кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Предложив учащимся самостоятельно выбирать разные значения количества монет по 50 копеек, необходимо подвести их к идее, которая наилучшим с точки зрения рациональности есть допущение, что у кассира были только монеты одного номинала (например, все 50 монет по 50 к. или все 50 монет по 10к. каждая). Благодаря чему, одно из неизвестных исключается и заменяется другим неизвестным.

7. Способ остатков

Этот способ имеет некоторую схожесть с размышлениями при решении задач способами проб и допущений. Способ остатков используем, решая задачи на движение в одном направлении, а именно -- когда необходимо найти время, за которое первый объект, который движется позади с большей скоростью, догонит второй объект, который имеет меньшую скорость движения. За 1 час первый объект приближается ко второму на расстояние, которое равно разности их скоростей, то есть равно «остатку» скорости, которая есть у него в сравнении со скоростью второго. Чтобы найти время, которое необходимо первому объекту для преодоления расстояния, которое было между ним и вторым на начало движения, следует определить, сколько раз «остаток» помещается в этом расстоянии.

Если абстрагироваться от сюжета и рассмотреть только математическую структуру задачи, то в ней говорится о двух множителях (скорости движения обоих объектов) или разнице этих множителей и о двух произведениях (расстояния, которые они проходят) или их разность. Неизвестные множители (время) одинаковые и их необходимо найти. С математической точки зрения неизвестный множитель показывает, сколько раз разность известных множителей содержится в разности произведений. Поэтому задачи, которые решаются способом остатков, получили название задач на нахождение чисел по двум разностям.

Задача. Учащиеся решили наклеить в альбом фотографии с праздника. Если они на каждую страницу наклеют по 4 фотографии, то в альбоме не хватит места для 20 фотографий. Если же на каждую страницу клеить по 6 фотографий, то 5 страниц останутся свободными. Сколько фотографий собираются учащиеся наклеить в альбом?

Анализ задачи

Количество фотографий остается одинаковым при первом и втором вариантах наклеивания. По условию задачи оно неизвестно, но его можно найти, если будет известно количество фотографий, которые размещаются на одной странице, и количество страниц в альбоме.

Количество фотографий, которые наклеивают на одну страницу, известно (первый множитель). Количество страниц в альбоме неизвестно и остается неизменным (второй множитель). Так как известно, что 5 страниц альбома остаются во второй раз свободными, то можно найти, сколько еще фотографий можно было бы наклеить в альбом: 6*5 = 30 (фотографий).

Значит, увеличивая количество фотографий на одной странице на 6 - 4 = 2, количество наклеенных фотографий увеличивается на 20 + 30 = 50.

Так как во второй раз на каждую страницу наклеивали на две фотографии больше и всего наклеили на 50 фотографий больше, то найдем количество страниц в альбоме: 50: 2 = 25 (стр.).

Следовательно, всего фотографий было 4*25 + 20 = 120 (фотографий).

Ответ: В альбоме было 25 страниц и клеили 120 фотографий.

Глава II. Обучение школьников приемам решения текстовых арифметических задач

Обучение методам решения текстовых задач провожу системно, при изучении каждой темы школьного курса.

2.1 Решение задач на совместное движение

Начиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости».В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной школе нет).Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться и в одном направлении.и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу:

Таблица 1.

Методы нахождения скорости сближения и скорости удаления

При разборе задачи даются следующие вопросы

1. С помощью движения рук выясняем, как двигаются тела относительно друг друга (в одном направлении, в разных).

2. Выясняем, каким действием находится скорость (сложением, вычитанием).

3. Определяем, какая это скорость (сближения, удаления).

Записываем решение задачи.

Пример № 1. Из городов А и В, расстояние между которыми 600км, одновременно, навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость легковой 100 км/ч, а грузовой -- 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Учащиеся движением рук показывают, как движутся машины и делают следующие выводы:

а. машины движутся в разных направлениях;

б. скорость будет находиться сложением;

в. так как они движутся навстречу друг другу, то это скорость сближения.

1. 100 + 50 = 150 (км/ч) - скорость сближения.

2. 600: 150 = 4 (ч) - время движения до встречи.

Ответ: через 4 часа.

Пример №2. Мужчина и мальчик вышли из дома на дачу одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5км/ч, а скорость мальчика 3км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

С помощью движения рук, выясняем:

а. мальчик и мужчина движутся в одном направлении;

б. скорость находится разностью;

в. мужчина идет быстрее, т. е., удаляется от мальчика (скорость удаления).

1. 5 -- 3 = 2 (км/ч) - скорость удаления.

2. 2*2 = 4 (км/ч) - расстояние между мужчиной и мальчиком через 2 часа

Ответ: 4 км.

2.2 Задачи, решаемые с помощью таблиц

При подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы.

Устный счет следует проводить с использованием данных карт, которые должны быть у каждого учащегося, что позволяет привлечь к работе весь класс.

Пример№1. У первого мальчика на 5 марок больше, чем у второго. Как найти сколько марок у второго?

Учащиеся поднимают карту №1 и объясняют, что к числу первого нужно прибавить 5, так как у него на 5 больше, выделяя интонацией «на … больше»

Пример №2. У второго мальчика 30 марок, а у первого в 3 раза меньше. Сколько марок у первого мальчика?

Учащиеся должны поднять карту №4 и ответить: 10 марок, так как 30:3 =10. Опорные слова - «в...меньше».

Подбор задач на устный счет должен быть разнообразным, но каждый раз ученик должен давать объяснение, называя опорные слова. В таблице опорные слова лучше подчеркивать.

Пример №3. Всадник проехал 80км за 5 часов. Сколько времени потратит на этот путь велосипедист, если его скорость на 24 км/ч больше скорости всадника?

При заполнении таблицы ученик должен подчеркнуть опорные слова и объяснить, что скорость велосипедиста находится путем сложения 16 км/ч и 24 км/ч. Затем, устанавливая функциональную зависимость между величинами, учащиеся заполняют все строки и столбцы таблицы. После этого, в зависимости от поставленной задачи, ученик или отвечает на вопрос, или оформляет решение. Работая с таблицей, учащийся должен понимать, что при решении задачи все строки и столбцы должны быть заполнены данными задачи, и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами.

2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал: а. какое действие обозначает дробная черта;

б. что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь 3/4 обозначает, что данное разделили на 4 равные части и взяли 3 части. Для этого хорошо использовать конверты, которые готовят все учащиеся с помощью родителей. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят как получаются дроби.

Например. Выложить фигуру, изображающую дробь 5/6. Зная цвета долей, учитель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей.

Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим вычитание. Из 1 вычтем 1/4. Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью 4/4. После 2-3 примеров учащиеся сами делают вывод.

С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь 1/3 они накладывают 2/6 и т. д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач.

Пример №1. В саду 120 деревьев. Березы составляют 2/3 всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен?

Вопрос: Что означает дробь 2/3?

Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.

40*2 = 80 (дер.) - было берез.

120 -- 80 = 40 (дер.) - было сосен.

II способ:

120: 3 = 40 (дер.) - составляют одну часть.

3 -- 2 = 1 (часть) - составляют сосны.

40*1 = 40 (дер.) - составляют сосны.

...

Подобные документы

Обучение детей нахождению способа решения текстовой задачи на уроках математики. Роль арифметических задач в начальном курсе математики. Решение задач на совместное движение, на нахождение части числа и числа по части, на проценты, на совместную работу.

дипломная работа , добавлен 28.05.2008


Характеристика форм работы младших школьников на уроках математики. Использование различных форм работы в процессе решения текстовой задачи. Решение текстовых задач в начальной школе. Диагностика уровня сформированности умений школьников решать задачи.

дипломная работа , добавлен 04.09.2010


Понятие текстовой задачи и ее роли в курсе математики. Способы решения текстовых задач. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление. Обучение решению задач на движение. Выявление уровня умений учащихся решению составных задач.

курсовая работа , добавлен 20.08.2010


Классификация и функции задач в обучении. Методические особенности решения нестандартных задач. Особенности решения текстовых задач и задач с параметрами. Методика решения уравнений и неравенств. Педагогический эксперимент и анализ результатов.

дипломная работа , добавлен 24.02.2010


Сущность алгебраического метода решения текстовых задач. Типичные методические ошибки учителя при работе с ними. Решение текстовых задач алгебраическим методом по Г.Г. Левитасу и В. Лебедеву. Анализ практического применения методики обучения их решению.

курсовая работа , добавлен 30.09.2010


Понятие задачи и ее решения. Решение задач выделением этапов математического моделирования. Роль аналитико-синтетических рассуждений в формировании умений решать алгебраическим способом. Задания по формированию умений составления математических моделей.

дипломная работа , добавлен 23.04.2011


Понятия компетенции и компетентности. Взгляды на реализацию компетентностного подхода в школе. Классификация и содержание ключевых образовательных компетенций. Ключевые компетенций на уроках математики в 5-6 классах. Примеры формирования компетенций.

дипломная работа , добавлен 24.06.2009


Понятие "текстовая задача" и ее структура. Процесс решения текстовых задач. Методические приемы, используемые в обучении решению. Формирование у учащихся обобщенных умений. Работа над текстовой задачей с использованием тетрадей с печатной основой.

курсовая работа , добавлен 16.03.2012


Значение арифметических задач для умственного развития детей. Виды математических задач и их классификация. Особенности усвоения детьми сущности задач. Методика и этапы обучения дошкольников решению задач. Арифметические задачи, составленные детьми.

контрольная работа , добавлен 18.12.2010


Подбор комплекса олимпиадных задач по математике для детей младшего школьного возраста. Структура и виды олимпиадных задач, способы их решения. Обучение детей умению и навыкам выполнять семантический, логический и математический анализ текстовых задач.

Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем то, что требуется найти - ответ.

Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический метод, а так же комбинированный.

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений в процессе решения задачи.

Решить задачу алгебраическим методом - значит найти ответ на требование задачи путем составления и решения уравнения или системы уравнений.

Алгебраическим методом решают по следующей схеме:

1) выделяют величины, о которых идет речь в тексте задачи, и устанавливают зависимость между ними;

2) вводят переменные (обозначают буквами неизвестные величины);

3) с помощью введенных переменных и данных задачи составляют уравнение или систему уравнений;

4) решают полученное уравнение или систему;

5) проверяют найденные значения по условию задачи и записывают ответ.

Комбинированный метод решения включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

В начальной школе задачи делят по количеству действий при решении на простые и составные. Задачи, в которых для ответа на вопрос нужно выполнить только одно действие, называют простыми. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действий, то такие задачи называют составными.

Составную задачу, тек же как и простую, можно решить, используя различные способы.

Задача. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 окуня, остальные - щуки. Сколько щук поймал рыбак?

Практический способ .

Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб.

Л Л Л О О О О

Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует не обозначенным кругам - их три.

Арифметический способ.

1) 3+4=7(р) - пойманные рыбы;

2) 10 - 7 = 3(р) - пойманные щуки.

Алгебраический способ.

Пусть х - пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3 + 4 + х. По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3 + 4 + х = 10. Решив это уравнение, получим х = 3 и тем самым ответим на вопрос задачи.

Графический способ .

лещи окуни щуки

Этот способ, так же как и практический, позволят ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий.

В математике общепринято следующее деление процесса решения задач :

1) анализ текста задачи, схематическая запись задачи, исследование задачи;

2) поиск способа решения задачи и составление плана решения;

3) осуществление найденного плана;

4) анализ найденного решения задачи, проверка.

Методы поиска решения задачи можно назвать следующие:

1) Анализ: а) когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи; б) когда целое расчленяют на части;

2) Синтез: а) когда двигаются от данных задачи к искомым;
б) когда элементы объединяют в целое;

3) Переформулировка задачи (четко формулировать промежуточные задания, возникающие по ходу поиска решения);

4) Индуктивный метод решения задачи: на основе точного чертежа усмотреть свойства фигуры, сделать выводы и доказать их;

5) Применение аналогии (вспомнить аналогичную задачу);

6) Прогнозирование - предвидение тех результатов, к которым может привести поиск.

Рассмотрим более подробно процесс решения задачи :

Задача на движение. Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратно - за 8ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет собственную скорость, а плот и река, по которой плывут лодка и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь по течению реки за меньшее время (6ч) , чем против течения (8ч). Но эти скорости в задаче не даны, так же как неизвестно и расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные, а время, за которое плот проплывет это расстояние.

Схематическая запись:

Лодка 6 ч

плот лодка

8

Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того, чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой S (км), а скорость течения а км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи, нужно знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, она равна V км/ч. Отсюда возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

Осуществление решения задачи. Пусть расстояние равно S (км), скорость течения реки а км/ч, собственная скорость лодки V км/ч , а искомое время движения плота равно х ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна (V+а) км/ч. За 6ч лодка, идя с этой скоростью, прошла расстояние в S (км). Следовательно, 6(V + а ) = S (1). Против течения эта лодка идет со скоростью (V - а ) км/ч и данный путь она проходит за 8 ч , поэтому 8(V - а ) = S (2). Плот, плывя со скоростью течения реки а км/ч, проплыл расстояние S (км) за х ч, следовательно, ах = S (3).

Полученные уравнения образуют систему уравнений относительно неизвестных а, х, S, V. Так как требуется найти лишь х , то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем: V + а = , V - а = . Вычитая из первого уравнения второе, получим: 2а = - . Отсюда а = . Подставим найденное выражение в уравнение (3): х = . Откуда х= 48 .

Проверка решения. Мы нашли, что плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна . Скорость же лодки по течению реки равна км/ч, а против течения км/ч. Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами: + и
- . Произведя вычисления, получим верное равенство: = . Значит, задача решена правильно.

Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 часов.

Анализ решения . Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти надо было одно неизвестное. Поэтому возникает мысль, что данное решение не самое удачное, хотя и простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6ч, а против - за 8ч, найдем, что в 1ч лодка, идя по течению реки проходит часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними - = есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1ч. Значит. Плот за 1ч проплывет часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

При таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако это решение сложнее приведенного выше (не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки).

Упражнения для самостоятельной работы

1. Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, обратно возвратился на лодке, скорость которой в стоячей воде равна 5 км/ч, затратив на все путешествие 10 ч. Найдите скорость течения реки.

2. Одна мастерская должна сшить 810 костюмов, другая за этот же срок - 900 костюмов. Первая закончила выполнение заказов за 3 дня, а вторая за 6 дней до срока. Сколько костюмов в день шила каждая мастерская, если вторая шила в день на 4 костюма больше первой?

3. Два поезда выехали навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми равно 400 км. Через 4 часа расстояние между ними сократилось до 40 км. Если бы один из поездов вышел на 1 час раньше другого, то их встреча произошла бы на середине пути. Определите скорости поездов.

4. На одном складе 500 т угля, а на другом - 600 т. Первый склад ежедневно отпускает 9 т, а второй - 11 т угля. Через сколько дней угля на складах станет поровну?

5. Вкладчик взял из сбербанка 25 % своих денег, а потом 64 000рублей. После чего осталось на счету 35 % всех денег. Какой был вклад?

6. Произведение двузначного числа и его суммы цифр равно 144. Найдите это число, если в нем вторая цифра больше первой на 2.

7. Решите следующие задачи арифметическим методом:

а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь - 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?

в) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая в течении 5 дней?