Как найти объем многогранника.

" мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.

В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.

В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.

Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.

Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.

Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.

Ответ: 72

Решите самостоятельно:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ещё задачи , . В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.

* * *

Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.

Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2

Ответ: 64

Решите самостоятельно:

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

16) № 27044 17) № 27187 18) № 27188 19) № 27189 20) № 27190 21) № 27191

16) 17) 18) 19) 20) 21)

22) № 27192 23) № 27193 24) № 27194 25) № 27195 26) № 27210 27) № 27211

22) 23) 24) 25) 26) 27)

28) № 27212 29) № 27213 30) № 27216

28) 29) 30)

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

36) № 27098_ Диагональ куба равна . Найдите его объем.

37) № 27099_ Объем куба равен . Найдите его диагональ.

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

51) № 27103_ Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 , 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

55) № 27104_ Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8.

Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Прежде всего определимся, что же такое многогранник. Это трехмерная геометрическая фигура, грани которой представлены в виде плоских многоугольников. Единой формулы поиска объема многогранника не существует, так как многогранники бывают разной формы. Для того чтобы найти объем сложного многогранника, его условно делят на несколько простых, таких как параллелепипед, призма, пирамида, а затем складывают объемы простых многогранников и получают в результате искомый объем фигуры.

Как найти объем многогранника – параллелепипеда

Для начала найдем площадь прямоугольного параллелепипеда. У такой геометрической фигуры все грани представлены в виде плоских прямоугольных фигур.

Самый простой прямоугольный параллелепипед – это куб. Все ребра куба равны между собой. Всего у такого параллелепипеда 6 граней, то есть 6 одинаковых квадратов. Объем такой фигуры рассчитывается таким образом:

где a – длина любого ребра куба.

Объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют различные измерения, рассчитывается по следующей формуле:

где a, b и с – длины ребер.

Как найти объем многогранника – наклонного параллелепипеда

У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:

где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.

Как найти объем многогранника – призмы

Объемная геометрическая фигура, основание которой представлено многоугольником любой формы, а боковые грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с основанием – называется призмой. У призмы два основания, а боковых граней столько, сколько сторон у фигуры, являющейся основанием.

Для нахождения объема любой призмы, как прямой, так и наклонной, умножают площадь основания на высоту:

где S – площадь многоугольника в основании фигуры, а h – высота призмы.

Как найти объем многогранника – пирамиды

Если в основании фигуры расположен многоугольник, а боковые грани представлены в виде треугольников, смыкающихся в общей вершине, то такую фигуру называют пирамидой. Она отличается от вышеперечисленных фигур тем, что у нее имеется только одно основание, кроме этого, у нее есть вершина. Чтобы найти объем пирамиды, ее основание умножают на высоту, и делят результат на 3.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ по математике 2018 года задачи по стереометрии встречаются под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номером 8 для профильного уровня.

Здесь мы рассмотрим задачи, которые содержат многогранник с прямыми двугранными углами . Чтобы обратиться к другим типам этого задания по стереометрии (варианты с конусом, цилиндром, прямоугольным параллелепипедом, призмой и пирамидой) перейдите по ссылкам справа или в нижней части страницы.

Многогранник

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. Углы, образуемые двумя соседними гранями и их продолжениями, являются двугранными углами. Мерой двугранного угла служит соответствующий ему линейный угол. Линейный угол расположен в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла, и образован двумя полупрямыми - линиями пересечения этой плоскости с гранями.

Обратите внимание, что в условии всех задач, которые мы будем решать ниже, встречается фраза "Все двугранные углы многогранника прямые". Опираясь на это и определение меры двугранного угла, легко доказать, что грани (плоские многоугольники) также имеют только прямые углы (90 о или 270 о). А это, в свою очередь, означает, что грани либо прямоугольники, либо фигуры, которые легко разбить на прямоугольники. У прямоугольника, как известно, противоположные стороны равны. Поэтому все размеры, данные на чертежах следующих задач, можно переносить с одного ребра на другое, если эти ребра параллельны и являются сторонами одного прямоугольника.

Вспомним также, что мы уже рассматривали похожий случай. Прямоугольный параллелепипед - это тело, все грани которого прямоугольники. Поэтому для решения следующих задач мы можем использовать свойства, теоремы и алгоритмы из 3-его раздела. (Если вы еще не занимались задачами на прямоугольный параллелепипед, лучше сначала обратитесь к ним, а затем снова вернетесь к этой странице.)

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript. ) Кроме того, в решениях задач часто встречаются рисунки , дождитесь их полной загрузки.

Задача 1

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C 2

DC 2 принадлежит одной из граней многогранника. Чертим эту грань, отмечаем на ней известные размеры (при необходимости переносим их с соседних параллельных рёбер: DD 2 = AA 2 = 2). В плоском прямоугольном треугольнике DD 2 С 2 отрезок DC 2 является гипотенузой, квадрат которой равен сумме квадратов катетов.
DC 2 2 = DD 2 2 + D 2 C 2 2 = 2 2 + 1 2 = 5.

Ответ: 5

На первый взгляд, следующая задача ничем не отличается от первой. Однако это не так. В условии изменилась лишь одна буква, на чертеже изменилась лишь одна точка - и у нас совсем другое решение! Поэтому напоминаю еще раз - не заучивайте точное решение конкретной задачи, старайтесь запомнить его алгоритм, методику, способы...

Задача 2

Найдите расстояние между вершинами A и C 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Отмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок AC 2 соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. В этом случае у нас есть два варианта решения задачи:

Способ I.
Найти проекцию этого отрезка на одну из граней, которым принадлежит хотя бы одна отмеченная точка. Здесь удобно взять верхнюю грань A 2 B 2 C 2 D 2 и построить плоский чертеж треугольника AA 2 C 2 .
Способ II.
Продолжить грань A 1 B 2 C 2 D 1 вниз до пересечения с плоскостью основания, тем самым отрезав от многогранника прямоугольный параллелепипед, в котором искомый отрезок является диагональю. На чертеже он выделен зеленым цветом.
Мне нравится 2-й способ.

Все три размера прямоугольного параллелепипеда известны, следовательно квадрат его диагонали легко найти по "трехмерной теореме Пифагора":
AC 2 2 = 2 2 + 2 2 + 1 2 = 4 + 4 + 1 = 9. AC 2 = 3.

Ответ: 3

Замечания:
1) Правило, которое я для краткости называю "трехмерной теоремой Пифагора", можно повторить в разделе, посвященном . Три размера - высота, ширина и глубина.
2) Будьте внимательны с ответом. В предыдущем случае просили записать квадрат расстояния, а здесь - само расстояние.

Задача 3

Найдите растояние между вершинами D и C 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Отмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок DC 2 соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. Более того, часть отрезка лежит вне многогранника. Но это не имеет никакого значения для решения задачи способом I - через проекции. Здесь удобно взять проекцию на плоскость основания и рассмотреть треугольник DHC 2 .
Чтобы решить задачу способом II, продолжим грани, соседние с искомым отрезком, до пересечения, тем самым достроив недостающую часть параллелепипеда, в котором искомый отрезок является диагональю. На чертеже он выделен зеленым цветом.
Находим три размера выделенного прямоугольного параллелепипеда. Для этого используем грани-прямоугольники и переносим размеры с противолежащих параллельных рёбер:
Высота: EE 2 = FD 2 = 6; ширина: HE = FE - FH = FE - D 2 C 2 = 6 - 3 = 3; глубина: B 2 C 2 = A 2 D 2 = 2.
Квадрат диагонали находим по "трехмерной теореме Пифагора":
DC 2 2 = 6 2 + 3 2 + 2 2 = 36 + 9 + 4 = 49. DC 2 = 7.

Ответ: 7

Замечание: "Трехмерная теорема Пифагора" сформулирована в разделе, посвященном .

Задача 4

Найдите тангенс угла C 2 C 3 B 2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ставим на чертеже точки, упомянутые в условии задачи. Соединяем их. Отмечаем искомый угол.
ΔB 2 C 2 C 3 , которому принадлежит этот угол, полностью расположен на одной из граней многогранника. Чертим эту грань, отмечаем на ней известные размеры (при необходимости переносим их с параллельных рёбер: B 2 C 2 = B 1 C 1 = BC = 3). В плоском прямоугольном треугольнике B 2 C 2 C 3 катет B 2 C 2 - противолежащий и катет C 2 C 3 - прилежащий для искомого угла C 2 C 3 B 2 , следовательно по определению

tg ∠C 2 C 3 B 2 = B 2 C 2 / C 2 C 3 = 3/ 1 = 3.