\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]
Определения
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:
Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\) , откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\) .
Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\) . Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:
1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).
2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\) :
Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\) .
Следствие
Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\) .
\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) .
\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\) , тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\) , откуда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) , но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} - \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\) , что и требовалось доказать.
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]
Доказательство
\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.
Из треугольника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over{AB} - \frac12\buildrel\smile\over{CD}\) .
Но \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Доказательство
Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\) , \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\) , пересекает \(a\) в точке \(M\) . Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\) .
Обозначим \(\angle OAB = \alpha\) . Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\) . Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\) .
Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\) , то есть \(\angle OAM = 90^\circ\) , следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) .
Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами
Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.
И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.
Доказательство
1) Пусть \(AB=CD\) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги .
По трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\) . Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) .
2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\) , то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Следовательно, и \(AB=CD\) .
Теорема
Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.
Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.
Доказательство
1) Пусть \(AN=NB\) . Докажем, что \(OQ\perp AB\) .
Рассмотрим \(\triangle AOB\) : он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\) .
2) Пусть \(OQ\perp AB\) . Докажем, что \(AN=NB\) .
Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\) .
\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]
Теорема о произведении отрезков хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\) .
Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\) . В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\) , а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\) , откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Теорема о касательной и секущей
Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство
Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\) . Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\) : \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\) . По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\) . Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\) , что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Следствие
Произведение секущей, проведённой из точки \(O\) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\) .
Касательная к окружности. Дорогие друзья! В состав базы заданий ЕГЭ по математике входит группа задач, где в условии речь идёт о касательной и ставится вопрос о вычислении угла. Задачи эти чрезвычайно просты. Немного теории:
Что такое касательная к окружности?
Важно помнить одно основное свойство касательной:
В представленных задачах используются ещё два свойства связанные с углами:
1. Сумма углов четырёхугольника равна 360 0 , подробнее .
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .
Рассмотрим задачи:
27879. Через концы A и B дуги окружности в 62 0 проведены касательные AC и BC . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.
Сказано, что градусная мера дуги АВ соответствует 62 градусам, то есть угол АОВ равен 62 0 .
Первый способ.
Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 360 0 .
Второй способ.
В треугольнике АВС мы можем найти углы АВС и ВАС. Воспользуемся свойством касательной.
Так как ВС это касательная, то угол ОВС равен 90 0 , значит:
Аналогично
В равнобедренном треугольнике АОВ:
Значит
По теореме о сумме углов треугольника:
Ответ: 118 0
27880. Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB , равный 122 0 . Найдите величину меньшей дуги AB , стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Задача обратная предыдущей. Необходимо найти угол АОВ.
Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:
Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна 360 0 .
В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:
Ответ: 58
27882. Угол ACO равен 28 0 , где O - центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Градусная величина дуги соответствует углу АОС. То есть задача сводится к нахождению угла АОС в прямоугольном треугольнике ОСА. Треугольник является прямоугольны, так как АС касательная, а угол между касательной и радиусом проведённым к точке касания равен 90 градусам.
По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90 0 , значит:
Ответ: 62
27883. Найдите угол ACO , если его сторона CA касается окружности, O - центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116 0 . Ответ дайте в градусах.
Сказано, что дуга AD окружности, заключенная внутри угла АСО, равна 116 0 , то есть угол DOA равен 116 0 . Треугольник ОСА прямоугольный.
Углы АОС и DOA смежные, то есть их сумма равна 180 0 , значит:
Искомый угол равен:
Ответ: 26
Цель урока: с формулировать и доказать свойства еще одного вида углов, связанных с понятием окружности – углов между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания.
Задачи урока:
- образовательная: проверить знания теоретического материала по теме «Углы, вписанные в окружность»; рассмотреть связь градусной меры углов между касательной и хордой с градусными мерами уже ранее изученных углов; отработать навык решения задач с использованием вновь сформулированных свойств;
- развивающая: развитие познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы;
воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, активности.
Скачать:
Предварительный просмотр:
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО БРАЗОВАНИЯ
КОЛЛЕДЖ ЛАНДШАФТНОГО ДИЗАЙНА №18
Конспект урока по геометрии
9 класс
«Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания»
Подготовила
преподаватель математики и информатики
Колозян Элина Шаваршевна
Москва, 2012
Тема: Углы между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку
Касания
Цель урока: с формулировать и доказать свойства еще одного вида углов, связанных с понятием окружности - углов между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания.
Задачи урока:
образовательная: проверить знания теоретического материала по теме «Углы, вписанные в окружность»; рассмотреть связь градусной меры углов между касательной и хордой с градусными мерами уже ранее изученных углов; отработать навык решения задач с использованием вновь сформулированных свойств;
развивающая: развитие познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы;
воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, активности.
Ход урока
I. Устная работа (по рисунку 1)
Устная работа проводится для того чтобы сориентировать учащихся на самостоятельную работу, которая последует вслед за этим. Чертеж, который использовался при опросе, будет являться подсказкой, поэтому в сильном классе его имеет место убрать, а в слабом - наоборот, оставить.
У. С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы? Дайте
Определение и назовите их на чертеже
Д.1) Центральный угол (<АОС), вершина которого находится в центре
Окружности.
2) Вписанный в окружность (<АВС), его вершина лежит на окружности, стороны пересекают её.
У. Как связаны градусные меры этих углов?
Д. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры ему
Соответствующего центрального угла (<АВС= <АОС).
У. Как связаны их градусные меры с дугой, на которую они опираются?
Д. <АВС= ᵕ АС, <АОС= ᵕ АС.
У. Какие следствия из теоремы о вписанном в окружность угле вами уже
Изучены?
Д. Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
II. Самостоятельная работа (по материалу, разобранному в устной работе)
Самостоятельная работа направлена на проверку знаний теоретического материала. Первое задание очень простое, но только для тех учащихся, которые понимают связь данных понятий, а не зазубривают формулировки. Данная работа даст возможность проанализировать восприятие классом теоретического материала. Второе задание направлено на проверку самостоятельной работы учащихся дома, так как данные следствия были разобраны на уроке только в устной форме, а письменное доказательство было предложено в качестве домашнего задания. Оценку «3» в данной работе можно поставить за выполнение первого задание и запись верной формулировки следствия во втором.
Вариант1.
Вписанный в окружность угол всегда ……………….соответствующего центрального угла.
Вписанный в окружность угол всегда……………соответствующей дуге.
Дуга окружности всегда…………….соответствующего вписанного угла.
Градусная мера дуги всегда…………соответствующему центральному углу.
II. Сформулируйте и докажите свойство вписанного в окружность угла, опирающегося на диаметр.
Вариант2.
I. Вместо многоточия вставьте верный вариант ответа:
В 2 раза больше; в 2 раза меньше; равно.
Градусная мера дуги всегда ……………….соответствующему центральному углу.
Центральный угол всегда……………….соответствующей дуге.
Дуга окружности всегда……………соответствующего вписанного угла.
Центральный угол всегда……………….соответствующего вписанного угла.
Вписанный в окружность угол всегда…………….соответствующей дуги.
Вписанный в окружность угол всегда…………соответствующего центрального угла.
II. Сформулируйте и докажите свойство вписанных в окружность углов, опирающихся на дугу.
Вариант 1 | Вариант 2 |
|
Задание I | ||
в 2 раза меньше | равна |
|
равен | равен |
|
в 2 раза меньше | в 2 раза больше |
|
в 2 раза больше | в 2 раза больше |
|
в 2 раза больше | в 2 раза меньше |
|
равна | в 2 раза меньше |
Ответы:
III. Новый материал
Объяснение нового материала начинается не с доказательства, а с устной задачи, которая подводит учащихся к самостоятельной формулировке данного свойства, а также облегчает понимание доказательства, так как оно повторяет этапы решения задачи.
1. Устная работа по рисунку на доске (рис.2)
Рис.2
У. Назовите на чертеже центральный угол.
Д. <АОВ - вершина угла в центре окружности.
У. Что называется хордой?
Д. Отрезок, соединяющий две точки окружности; в нашем случае АВ.
У. Назовите касательную к окружности. Каким свойством она обладает?
Д. Прямая ВС. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, значит, <ОВС=90°.
Учитель обозначает этот угол на рисунке.
У. Покажите углы между касательной и хордой, проведенной в точку касания. Выберите и обозначьте наименьший.
Д. <АВС=60° (90°-30°)
У.Назовите дугу, заключенную между касательной и хордой.
Д. ᵕ АВ
У. Какому углу она равна?
Д. ᵕ АВ= <АОВ (градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла).
Эту формулировку учащиеся записывают под чертежом.
У. Вычислите градусную меру этого угла.
Д. АО=ОВ(радиусы), следовательно, треугольник АОВ - равнобедренный с основанием АВ, следовательно, <А=<В=30°, следовательно <АОВ=180°-2*30° = 120°
У. Сравните градусную меру угла между касательной и хордой и градусную меру дуги, заключенной между касательной и хордой.
Д. Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
У. Ребята, мы сейчас сформулировали свойство угла, образованного касательной к окружности и хордой, проведенной к точке касания. Запишем это свойство в тетрадь.
Учащиеся записывают.
У. почему нельзя сказать, что это свойство мы уже доказали?
Д. числовой пример не является доказательством, так как мы не можем перебрать все числа.
2. Письменное доказательство теоремы
Учитель доказывает теорему у доски, дети записывают доказательство в тетрадь.
ТЕОРЕМА: Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
Доказательство теоремы опирается на уже решенную задачу; учащиеся поясняют уже те моменты, которые разбирались.
Рис.3
Дано: Окружность (О;r), MN - касательная, АВ - хорда, АВ ∩MN = {А}(рис.3).
Доказать: <ВАМ= ᵕ ВА.
Доказательство:
1. Дополнительное построение: ВО = АО (радиусы)
2. <АОМ=90°, так как MN - касательная, ОА- радиус, <ВАМ=90°- <ОАВ.
3. Рассмотрим треугольник ВОА: ОВ=ОА, значит, треугольник равнобедренный с основанием АВ, поэтому <ОАВ=<АВО.
<ВОА=180°- <ОАВ - <АВО=180°- 2*<ОАВ= 2*(90°-<ОАВ)
4. ᵕ ВА=<ВОА=2*(90°-<ОАВ)= 2*<ВАМ, значит,
ᵕ ВА=2*<ВАМ и <ВАМ= ᵕ ВА.
IV. Закрепление
При закреплении нового материала используются задачи не из учебника, поэтому учащимся раздаются распечатки, содержащие задания.
Задание №1 и 2 выполняются устно, №3,4(дополнительно)-письменно.
№1 (рис.4)
<АВС -?
Рис.4
Решение:
1. <АВС= ᵕ ВА (свойство угла между касательной и хордой).
ᵕ ВА=<АОВ=180° (развернутый угол).
<АВС= *180°=90°.
№2 (рис.5)
<СВЕ-?
50°
Рис.5
Решение:
<СВЕ= ᵕ ВС (свойство угла между касательной и хордой).
<ВАС- вписанный окружность, значит <ВАС= ᵕ ВАС (ᵕ ВС) (свойство вписанного угла).
ᵕ ВС= 2*<ВАС= 2*50°=100°, <СВЕ=100°:2=50°
№3. (рис.6)
Рис.6
Решение:
ᵕ
ВЕА=2*<АМВ (вписанный угол в 2 раза меньше дуги, на которую он опирается), следовательно,
ᵕ
ВЕА=2*80°=160°.
Рассмотрим треугольник ADB:
Задачи №2 и №3 специально рассматриваются подробно (углы находятся через выполнение взаимообратных действий: умножение на 2, затем деление на 2). Если никто из учеников не заметит нерациональности в решении, необходимо акцентировать внимание детей на пунктах 1,2 задачи №3.
После этого можно сформулировать и записать как свойство:
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.
№4. (рис.7)
Дано: треугольник АВС вписан в окружность, <А:<В:<С=4:5:6;
ВМ - касательная к окружности.
Вычислить: <МВС и <МВА.
Рис.7
Решение:
Рассмотрим треугольник АВС: <А+<В+<С=180°.
Пусть х- коэффициент пропорциональности:
4х+5х+6х=180,
15х=180,
х=12.
<А=4*12°=48°, <МВС=<А=48° (свойство угла между касательной и хордой и вписанного угла, опирающегося на дугу, заключенную между касательной и хордой).
<АВМ=<АВС+<МВС=5*12°+48°=60°+48°=108°.
V. Итог урока
(работа по рис. 8)
У. Назовите все получившиеся вписанные углы.
Д. <САВ, <АВС, <ВСА.
У.Назовите все углы между касательной и хордами.
Д. У.Какие из них будут равны и почему?
Д. У.Какой из углов треугольника равен каждой из этих трех пар и почему?
Д. У.Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?
Д. они равнобедренные, так как в каждом из этих треугольников есть по два равных угла
VI. Домашнее задание
Выучить теорию (подготовка к тесту)
№ 54,59
Устная геометрия, 7-9 кл
Ершова А.П.
«Илекса»
2004
Математические диктанты
Геометрия 7-11кл
Левитас Г.Г.
«Илекса»
2008
Березина Л.Ю.
«Экзамен»
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем: Как мы используем вашу персональную информацию: Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения: Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. Урок геометрии в 10 классе УМК Л.С.Атанасян
МБОУ Верхличская СОШ Красногорского района Брянскойобласти
Учитель: Струговец Елена Васильевна
Тема урока:
Угол между касательной и хордой.
Цель урока:
Систематизировать знания учащихся по разделу планиметрии «Углы, связанные с окружностью». Доказать теорему об угле между касательной и хордой. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач.
Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.
Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.
Оборудование:
Тематические таблицы.
Тесты и карточки для ответов.
Ход урока.
Организационный момент. (1 мин)
Проверить готовность учащихся к уроку, отметить отсутствующих.
Постановка цели. (2мин)
В тетради запишите дату, тему урока. На уроке мы повторим теоретические знания по теме «Углы, связанные с окружностью». Докажем теорему об угле между касательной и хордой, научимся применять её к решению задач различных типов.
Актуализация знаний.
(7 мин)
Диктант (с последующей проверкой). Закончить прочитанное предложение.
Угол, вершина которой лежит на окружности называется … (вписанным).
Угол с вершиной в центре окружности - … (центральный).
Отрезок, соединяющий две точки окружности называется … (хордой).
Наибольшея из хорд окружностей - … (диаметр).
Мера дуги равна мере … (центрального угла).
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется…(касательной)
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания взаимно…(перпендикулярны)
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется… (секущей).
Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр …(прямые)
Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки называется …(описанным).
2) Решение задач по чертежу.
3) Решение задач
Центральный угол АОВ на 30 0 больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
Ответ.30 0 ; 60 0 .
Ответ.50 0 .
IV
.
Доказательство теоремы
.(5мин)
Мызнаем, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Докажем теорему об угле между касательной и хордой.
Теорема. Рис.1 Пусть АВ-
данная хорда, СС
1
-
касательная, проходящая через точку А.
Если АВ-
диаметр (рис.1), то заключенная внутри угла ВАС
(и также Рис.2 2. Если
VI
. Решение задач с оформлением. (7мин)
1. Через точку
D
, лежащую на радиусе
ОА
окружности с центром
О
, проведена хорда
ВС
, перпендикулярная к
ОА
, а через точку
В
проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке
Е
. Докажите, что луч
ВА
- биссектриса .
Доказательство.
АВЕ=АВ – по теореме
об угле между касательной и хордой.
4”
“3”
“2”
Знаю определения видов углов
Могу находить величины углов при решении задач
Теорема об угле между касательной и хордой.
Понятно доказательство теоремы
Применяю теорему при решении задач
Сбор и использование персональной информации
Раскрытие информации третьим лицам
Защита персональной информации
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Доказательство.
угла ВАС
1
)
дуга является полуокружностью. С другой стороны, углы ВАС
и ВАС
1
в этом случае прямые, поэтому утверждение теоремы верно.
Пусть теперь хорда
АВ
не является диаметром. Для определенности будем считать, что точки
С
и
С
1
на касательной выбраны так, что угол
САВ-
острый, и обозначим буквой а величину заключенной в нем дуги (рис.2). Проведем диаметр
А
D
и заметим, что треугольник
АВ
D
прямоугольный, поэтому
А
D
В
= 90° -
D
АВ
=
ВАС,
Поскольку угол
АВВ
вписанный, то
А
D
В
= , а значит, и
ВАС
= . Итак, угол
ВАС
между касательной
АС
и хордой
АВ
измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Аналогичное утверждение верно в отношении угла
ВАС
1
.
действительно, углы
ВАС
и
ВАС
1
-
смежные, поэтому
ВАС
1
= 180-=. С другой стороны, (360° - ) это величина дуги
А
D
В,
заключенной внутри угла
ВАС
1
.
Теорема доказана.
