Производство - основная область деятельности фирмы. Фирмы используют производственные факторы, которые называются также вводимыми (входными) факторами производства..
Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов .
Производственная функция может быть представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства. Такой вид функции, когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.
В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, напр., разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственной функцией используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями ПФ можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию: зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия .
Существует широкий выбор алгебраических выражений, которые можно использовать для представления производственных функций. Простейшая модель - это специальный случай общей модели анализа производства. Если фирме доступен только один вид деятельности, то производственную функцию можно представить прямоугольными изоквантами с постоянной отдачей от масштаба. Возможность изменять соотношение факторов производства отсутствует, и эластичность замены, безусловно, равна нулю. Это крайне специализированная производственная функция, но ее простота объясняет ее широкое применение во многих моделях .
Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени ..
Производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.
Рисунок 2 _ Изокванты, соответствующие различному объему производства
На рис. 1 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K 1 единиц капитала и L 1 единиц труда или K 2 единиц капитала и L 2 единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y 2 = 300.
В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество X c , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство
Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты
Отсюда коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:
Полученное соотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции
который вычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина sjk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на sjk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s jk = 1. Соответственно большие значения sjk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо .
Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s jk = 1.
Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей (рисунок 3).
Рисунок 3 _ Различные случаи поведения изоквант
В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию
Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением
Аналогичное обобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных ПФ.
Подобно кривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.
Для линейной производственной функции вида
где Y объем производства; A , b 1 , b 2 параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рисунок 4, а).
Для степенной производственной функции
Тогда изокванты будут иметь вид кривых (рисунок 4,б).
Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании (рисунок 4,в).
г) Ломаные изокванты
Рисунок 4 - Разные варианты изоквант
Такие изокванты иногда называют изоквантами леонтьевского типа по имени американского экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затраты выпуск).
Ломаная изокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F (рисунок 4,г).
Изокванты подобной конфигурации используются в линейном программировании для обоснования теории оптимального распределения ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома .
Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления производственных функций. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:
Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей - численность занятого населения x1, сумму основных и оборотных фондов x2, площадь используемой земли x3. Только два сомножителя у функции Кобба-Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20-30-е гг. ХХ в.:
N = A · Lб · Kв,
где N - национальный доход; L и K - соответственно объемы приложенного труда и капитала (подробнее см.;Кобба-Дугласа функция).
Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска - эффект масштаба .
В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции. Например в 2-факторном случае: Y(t) = A(t) Lб(t) Kв(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике.
Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).
Дальнейшая “динамизация” ПФ может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности.
Описываемые ПФ соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.).
Особая проблема - учет в макроэкономических ПФ фактора технического прогресса (подробнее см. в ст. “Научно-технический прогресс”). С помощью ПФ изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства (см. Эластичность замещения ресурсов), которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эластичностью замены (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES - Variable Elasticity of Substitution) (см. ниже).
На практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических ПФ: на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод называется распределительным.
При построении производственной функции необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции - в противном случае неизбежны грубые ошибки.
Приведем некоторые важные производственные функции.
Линейная производственная функция:
P = a1x1 + ... + anxn,
где a1, ..., an - оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях.
Функция CES:
P = A [(1 - б) K-b + бL-b]-c/b,
в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно, постоянна:
Отсюда и происходит название функции.
Функция CES, как и функция Кобба- Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа .
Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.
Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:
- 1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).
- 2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).
В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:
где - объем выпуска;
K- капитал (оборудование);
М- сырье, материалы;
Т - технология;
N - предпринимательские способности.
Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К).
Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые - экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб - создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:
где А - производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);
K, L- капитал и труд;
б,в -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.
Если б = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.
На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:
1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда
2) непропорционально - возрастающую
3) убывающую
Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов (рисунок 5).
Рисунок 5_ Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов
На рисунке 5 виден график производственной функции Кобба - Дугласа с одной переменной изображен - кривая ТРн .
Функция Кобба-Дугласа имела долгую и успешную жизнь без серьезных соперников, но недавно ей составила сильную конкуренцию новая функция Эрроу, Ченери, Минхаса и Солоу, которую мы будем называть сокращенно SMAC. (Браун и Де Кани также разработали эту функцию независимо). Основное отличие функции SMAC заключается в том, что вводится постоянная эластичности замещения у, отличная от единицы (как в функции Кобба-Дугласа) и нуля: как в модели затраты- выпуск .
Разнообразие рыночных и технологических условий, какое наблюдается в современной экономике, внушает мысль о невозможности удовлетворить основным требованиям разумного агрегирования, за исключением, может быть, отдельных фирм в одной и той же отрасли или ограниченных секторов экономики .
Таким образом, в экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Т.е., производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска. Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска от количества используемых труда и капитала.
экономический функция сельский издержки
Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т.д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции.
Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же затратах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых затратах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших затрат хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения затрат других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных.
Допустим, ваша фирма производит холодильники. Для изготовления корпуса нужно раскроить листовое железо. В зависимости от того, как будет размечен и раскроен стандартный лист железа, из него можно вырезать больше или меньше деталей; соответственно для изготовления определенного количества холодильников потребуется меньше или больше стандартных листов железа. При этом расход всех остальных материалов, труда, оборудования, электроэнергии останется без изменения. Такой вариант производства, который может быть улучшен путем более рационального раскроя железа, должен быть признан технически неэффективным и отклонен.
Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение - это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.
Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона.
Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х, может произвести продукт в количестве q. Производственная функция
устанавливает связь между этими величинами. Заметим, что здесь, как и в других лекциях, все объемные величины - это величины типа потока: объем затрат ресурса измеряется количеством единиц ресурса в единицу времени, а объем выпуска - количеством единиц продукта в единицу времени.
На рис. 1 приведен график производственной функции для рассматриваемого случая. Все точки, лежащие на графике, соответствуют технически эффективным вариантам, в частности точки А и В. Точка С соответствует неэффективному, а точка D - недостижимому варианту.
Рис. 1.
Производственная функция вида (1), устанавливающая зависимость объема производства от объема затрат единственного ресурса, может использоваться не только в иллюстративных целях. Она полезна и тогда, когда может изменяться расход лишь одного ресурса, а затраты всех остальных ресурсов по тем или иным причинам должны рассматриваться как фиксированные. В этих случаях интерес представляет зависимость объема производства от затрат единственного переменного фактора.
Значительно большее разнообразие появляется при рассмотрении производственной функции, зависящей от объемов двух потребляемых ресурсов:
q = f(x 1 , x 2), (2)
Анализ таких функций позволяет легко перейти к общему случаю, когда количество ресурсов может быть любым. Кроме того, производственные функции двух аргументов широко используются в практике, когда исследователя интересует зависимость объема выпуска продукта от важнейших факторов - затрат труда (L) и капитала (K):
q = f(L, K), (3)
График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию вида (2) можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x 1 и x 2) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (рис. 2). Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x 1 и x 2 . Построение на рис. 1 при этом можно рассматривать как вертикальный разрез "холма" плоскостью, параллельной оси x 1 и соответствующей фиксированному значению второй координаты x 2 = x * 2 .
Рис. 2.
экономический сельский издержки
Горизонтальный разрез "холма" объединяет варианты производства, характеризующиеся фиксированным выпуском продукта q = q* при различных сочетаниях затрат первого и второго ресурсов. Если горизонтальное сечение поверхности "холма" изобразить отдельно на плоскости с координатами x 1 и x 2 , получится кривая, объединяющая такие комбинации затрат ресурсов, которые позволяют получить данный фиксированный объем выпуска продукта (рис. 3). Такая кривая получила название изокванты производственной функции (от греч. isoz - одинаковый и лат. quantum - сколько).
Рис. 3.
Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Можно использовать небольшое количество машин (т.е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте.
Зафиксировав объем выпуска продукта на другом уровне, мы получим другую изокванту той же самой производственной функции. Выполнив серию горизонтальных разрезов на различных высотах, получим так называемую карту изоквант (рис. 4) - наиболее распространенное графическое представление производственной функции от двух аргументов. Она похожа на географическую карту, на которой рельеф местности изображен горизонталями (иначе - изогипсами) - линиями, соединяющими точки, лежащие на одинаковой высоте.
Нетрудно заметить, что производственная функция во многом похожа на функцию полезности в теории потребления, изокванта - на кривую безразличия, карта изоквант - на карту безразличия. Позже мы убедимся в том, что свойства и характеристики производственной функции имеют много аналогий в теории потребления. И дело тут не в простом сходстве. По отношению к ресурсам фирма ведет себя как потребитель, и производственная функция характеризует именно эту сторону производства - производство как потребление. Тот или иной набор ресурсов полезен для производства постольку, поскольку он позволяет получить соответствующий объем выпуска продукта. Можно сказать, что значения производственной функции выражают полезность для производства соответствующего набора ресурсов. В отличие от потребительской полезности эта "полезность" имеет вполне определенную количественную меру - она определяется объемом производимой продукци.
Рис. 4.
То обстоятельство, что значения производственной функции относятся к технически эффективным вариантам и характеризуют наибольший выпуск продукции при потреблении данного набора ресурсов, также имеет аналогию в теории потребления. Потребитель может по-разному использовать приобретаемые блага. Полезность покупаемого набора благ определяется таким способом их использования, при котором потребитель получает наибольшее удовлетворение.
Однако при всех отмеченных чертах сходства потребительской полезности и "полезности", выражаемой значениями производственной функции, это совершенно разные понятия. Потребитель сам, исходя только из своих собственных предпочтений, определяет, насколько полезен для него тот или иной продукт, - покупая или отвергая его. Набор производственных ресурсов в конечном счете окажется полезным в той мере, в какой будет одобрен потребителем тот продукт, который произведен с использованием этих ресурсов.
Поскольку производственной функции присущи наиболее общие свойства функции полезности, мы можем далее рассмотреть основные ее свойства, не повторяя подробных рассуждений, приведенных во II части.
Будем считать, что увеличение затрат одного из ресурсов при неизменных затратах другого позволяет увеличить выход продукции. Это значит, что производственная функция - возрастающая функция каждого из своих аргументов. Через каждую точку плоскости ресурсов с координатами х 1 ,х 2 проходит единственная изокванта. Все изокванты имеют отрицательный наклон. Изокванта, отвечающая большему выходу продукта, располагается правее и выше изокванты для меньшего выхода. Наконец, все изокванты будем считать выпуклыми в направлении начала координат.
На рис. 5 изображены некоторые карты изоквант, характеризующие различные ситуации, возникающие при производственном потреблении двух ресурсов. Рис. 5,а соответствует абсолютному взаимозамещению ресурсов. В случае, представленном на рис. 5,б, первый ресурс может быть полностью замещен вторым: точки изоквант, расположенные на оси х 2 показывают количество второго ресурса, позволяющее получить тот или иной выход продукта без использования первого ресурса. Использование первого ресурса позволяет сократить затраты второго, но полностью заменить второй ресурс первым невозможно. Рис. 5,в изображает ситуацию, в которой оба ресурса необходимы и ни один из них не может быть полностью замещен другим. Наконец, случай, представленный на рис. 5,г, характеризуется абсолютной взаимодополняемостью ресурсов.
Рис. 5.
Производственная функция, зависящая от двух аргументов, имеет довольно наглядное представление и сравнительно проста для расчетов. Нужно заметить, что в экономике используются производственные функции различных объектов - предприятия, отрасли, национального и мирового хозяйства. Чаще всего это функции вида (3); иногда добавляют третий аргумент - затраты природных ресурсов (N):
q = f(L, K, N), (4)
Это имеет смысл, если количество природных ресурсов, вовлекаемых в производственную деятельность, является переменным.
В прикладных экономических исследованиях и в экономической теории используются производственные функции разных типов. В прикладных расчетах требования практической вычислимости заставляют ограничиться небольшим числом факторов, и эти факторы рассматриваются укрупненно - "труд" без подразделения по профессиям и квалификации, "капитал" без учета его конкретного состава, и т.д. При теоретическом анализе производства можно отвлечься от трудностей практической вычислимости.
Сырье различных сортов должно рассматриваться как различные виды ресурсов, точно так же, как машины различных марок или труд, различающийся по профессиональному и квалификационному признакам. Таким образом, используемая в теории производственная функция - это функция большого числа аргументов:
q = f(x 1 , x 2 ,..., x n), (5)
Такой же подход применялся и в теории потребления, где число видов потребляемых благ никак не ограничивалось.
Все, что было ранее сказано о производственной функции двух аргументов, может быть перенесено и на функцию вида (4), разумеется, с оговорками, касающимися размерности. Изокванты функции (4) - это не плоские кривые, а n-мерные поверхности. Тем не менее мы и в дальнейшем будем пользоваться "плоскими изоквантами" - и в иллюстративных целях, и как удобным средством анализа в случаях, когда затраты двух ресурсов являются переменными, а остальных считаются фиксированными.
Виды производственных функций представлены в таблице 1.
Таблица 1. Виды производственных функци
|
Название ПФ |
Двухфакторная ПФ |
Использование |
|
1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФ Леонтьева) |
Предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. |
|
|
2. ПФ Кобба- Дугласа |
Используется для описания среднемасштабных объектов (от промышленного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием. |
|
|
3. Линейная ПФ |
Применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, н-х в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий. |
|
|
4. ПФ Аллена |
Предназначена для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное влияние на объем выпуска. Обычно используется для описания мелкомасштабных ПС с ограниченными возможностями переработки ресурсов. |
|
|
5. ПФ постоянной эластичности замены факторов (ПЭЗ или CES) |
 Применяется в случаях, когда отсутствует точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объемов вовлекаемых ресурсов. |
|
|
6. ПФ с линейной эластичностью замены факторов (LES) |
||
|
7. Функция Солоу |
Может использоваться примерно в тех же ситуациях, что и ПФ ПЭЗ, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок ПЭЗ. Рекомендуется, когда предположение об однородности представляется неоправданным. Может моделировать системы любого масштаба. |
Неоклассические модели экономического роста строятся на базе производственной функции и основаны на предпосылках полной занятости, гибкости цен на всех рынках, а также пол ной взаимозаменяемости факторов производства. Попытки исследовать, в какой степени качество факторов производства (их производительность) и различные пропорции в их сочетании воздействуют на экономический рост, привели к созданию модели производственной функции Кобба - Дугласа.
Функция Кобба-Дугласа впервые была предложена Кнутом Уикселлом. В 1928 году проверена на статистических данных Чарльзом Коббом (Charles Cobb) и Паулом Дугласом (Paul Douglas) в работе«A Theory of Production» (mar.,1928).В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.
Производственная функция Кобба-Дугласа -- зависимость объема производства Q от создающих его труда L и капитала K.
Общий вид функции:
где А -- технологический коэффициент,
б -- коэффициент эластичности по труду, а
в -- коэффициент эластичности по капиталу.
Впервые Функция Кобба - Дугласа получена в результате математического преобразования простейшей двухфакторной производственной функции y = f(x1, x2), отражающей зависимость между объемом произведенной продукции у и двумя видами ресурсов: материальными x1 (затраты сырья, энергии, транспортные и другие ресурсы) и трудовыми x2. Функция Кобба - Дугласа показывает, какой долей совокупного продукта вознаграждается участвующий в его создании фактор производства.
Таким образом, однозначное количественное определение доли каждого производственного ресурса в конечном продукте затруднительно, так как производство возможно лишь при взаимодействии всех факторов и влияние каждого фактора зависит как от объема его использования, так и от объемов использования других ресурсов.
Построение производственных функций позволяет, пусть не абсолютно точно, определить влияние каждого из ресурсов на результат производства, дать прогноз относительно изменения объема производства при изменениях в объеме ресурсов, определить оптимальную комбинацию ресурсов для получения заданного количества продукции.
Производственная функция – зависимость объемов производства от количества и качества имеющихся производственных факторов, выраженная с помощью математической модели. Производственная функция дает возможность выявить оптимальный размер издержек, необходимых для производства некоторой порции товаров. При этом функция всегда предназначается для конкретной технологии – интеграция новых разработок влечет необходимость пересмотра зависимости.
Производственная функция: общий вид и свойства
Для производственных функций характерны следующие свойства:
- Повышение объемов выпуска за счет одного производственного фактора всегда предельно (пример – в одном помещении может работать ограниченное число специалистов).
- Производственные факторы бывают взаимозаменяемыми (человеческие ресурсы заменяются роботами) и взаимодополняемыми (работники нуждаются в инструментах и станках).
В общем виде производственная функция выглядит так:
Q = f (K , M , L, T , N ),
Производство -_ процесс создания разных видов экономического продукта. Понятие производства характеризует специфически человеческий тип обмена веществами с природой, или, более точно, -- процесс активного преобразования людьми природных ресурсов с целью создания необходимых материальных условий для своего существования .
Производственный процесс - это регулируемый человеком с помощью средств труда целенаправленный процесс преобразования различных объектов в продукты производства
Производственная функция характеризует техническую зависимость между ресурсами и выпуском и описывает всю совокупность технологически эффективных способов. Каждый способ может быть описан своей производственной функцией .
Производственная функция описывает множество техниче ски эффективных способов производства. Каждый способ производства (или производственный про цесс) характеризуется определенной комбинацией ресурсов, без условно необходимой для получения единицы продукции при данном уровне технологии. Способ А считается технически эффективным по сравнению со способом В, если он предполагает использование хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных не в большем количестве, чем способ В. Последний счи тается технически неэффективным по сравнению со способом А. Технически неэффективные способы не используются рациональным предпринимателем. Если же способ А предполагает использование одних ресурсов в большем, а других в меньшем количестве, чем способ В, эти способы несравнимы по их технической эффективности. В этом случае оба способа рассматриваются как технически эффективные и включаются в производственную функцию. Какой из них будет выбран и регшизован в действительности, зависит от соотношения цен соответствующих ресурсов. Этот выбор основывается на критериях экономической эффективности, связанные с этим ^Сравните с аксиомой ненасыщения в теории поведения потребителя вопросы мы рассмотрим в конце главы. Здесь же важно под. черкнуть, что между понятиями технической и экономической эффективности существует принципиальное различие. Заметим также, что изменение соотношения цен ресурсов может сделать ранее выбранный технически и экономически эффективный ме тод экономически неэффективным, и наоборот .
Фирмы несут издержки, когда они приобретают ресурсы для производства товаров *: услуг, которые собираются продавать. С помощью производственной функции можно исследовать связь между производственным процессом фирмы и ее совокупными издержками .
Производственная функция _ экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции(выпуска). Производственная функция применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант) и для анализа, а также прогнозирования соотношения объемов факторов и объема выпуска в разные моменты времени (динамический вариант) на различных уровнях экономики - от фирмы (предприятия) до народного хозяйства в целом. В отдельной фирме, корпорации и т. п. Производственная функция описывает максимальный объем выпуска продукции, которую они в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов производства .
В теории производства традиционно используется двухфакторная производственная функция, характеризующая зависимость между максимально возможным объемом выпуска (Q) и количествами применяемых ресурсов труда (L) и капитала (К):
Это объясняется не только удобством графического отображения, но и тем, что удельный расход материалов во многих случаях слабо зависит от объема выпуска, а такой фактор, как производственные площади, обычно рассматривается вместе с капиталом. При этом ресурсы L и К, а также выпуск Q рассматриваются в мере потока, т.е. в единицах использования (выпуска) в единицу времени. Графически каждый способ производства может быть пред ставлен точкой, координаты которой характеризуют минимально необходимые для производства данного объема выпуска количе ства ресурсов L и А", а производственная функция -- линией равного выпуска, или изоквантой, подобно тому как в теории потребления кривая безразличия характеризует один и тот же уровень удовлетворения, или полезности различных комбинаций потребительских благ.
Таким образом, на карте выпуска каждая изокванта представляет множество минимально необходимых комбинаций производственных ресурсов или технически эффективных способов производства определенного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она представляет. При этом в отличие от кривых безразличия каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска .
Определенного уровня выпуска можно достигнуть с помощью различного сочетания капитальных и трудовых затрат. Кривые, описываемые условиями j(K, L) = const., называются изо квантами. Обычно предполагается, что по мере роста значений одной из независимых переменных предельная норма замещения данного фактора производства уменьшается. Поэтому при сохранении постоянного объема производства экономия одного вида затрат, связанная с увеличением затрат другого фактора, постепенно уменьшается. На примере производственной функции Кобба -- Дугласа рассмотрим основные выводы, которые можно получить исходя из предложений о том или ином виде производственной функции. Производственная функция Кобба -- Дугласа, включающая два фактора производства, имеет вид
где А, б, в -- параметры модели. Величина А зависит от единиц измерения Q, К и L, а также от эффективности производственного процесса.
При фиксированных значениях К и L более высокое значение имеет та функция Q, которая характеризуется большей величиной параметра А, следовательно, и производственный процесс, описываемый такой функцией, более эффективен. Описываемая производственная функция однозначна и непрерывна (при положительных К и L). Параметры б и в называют коэффициентами эластичности. Они показывают, на какую величину в среднем изменится Q, если б или в увеличить на 1%.
Рассмотрим поведение функции Q при изменении масштабов производства. Предположим, что затраты каждого фактора производства увеличились в с раз. Тогда новое значение функции будет определяться следующим образом:
При этом, если б + в = 1, то уровень эффективности не зависит от масштабов производства. Если б + в < 1, то средние издержки, рассчитанные на единицу продукции, растут, а при б + в > 1 -- убывают по мере расширения масштабов производства. Следует отметить, что эти свойства не зависят от численных значений К, L производственной функции. Для определения параметров и вида производственной функции необходимо провести дополнительные наблюдения. Как правило, пользуются двумя видами данных -- динамическими (временными) рядами и данными одновременных наблюдений (пространственной информацией). Динамические ряды экономических показателей характеризуют поведение одной и той же фирмы во времени, тогда как данные второго вида обычно относятся к одному и тому же моменту, но к различным фирмам. В случаях когда исследователь располагает временным рядом, например годовыми данными, характеризующими деятельность одной и той же фирмы, возникают трудности, с которыми не пришлось бы столкнуться при работе с пространственными данными. Так, относительные цены со временем становятся иными, а следовательно, меняется и оптимальное сочетание затрат отдельных факторов производства. Кроме того, с течением времени изменяется и уровень административного управления. Однако основные проблемы при использовании временных рядов порождаются последствиями технического прогресса, в результате которого меняются нормы затрат производственных факторов, соотношения, в которых они могут замещать друг друга, и параметры эффективности. Вследствие этого с течением времени могут меняться не только параметры, но и формы производственной функции. Поправка на технический прогресс может быть введена с помощью некоторого временного тренда, включаемого в состав производственной функции. Тогда
Производственная функция Кобба -- Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид
В этом выражении параметр и, с помощью которого характеризуется технический прогресс, показывает, что объем выпускаемой продукции ежегодно увеличивается на и процентов независимо от изменений в затратах производственных факторов и, в частности, от размера новых инвестиций. Такая форма технического прогресса, не связанная с какими-либо затратами труда или капитала, называется «нематеризованным техническим прогрессом». Однако подобный подход не вполне реалистичен, так как новые открытия не могут повлиять на функционирование старых машин, а расширение объема производства возможно только посредством новых инвестиций. При другом подходе к учету технического прогресса для каждой «возрастной группы» капитала строят свою производственную функцию. В этом случае функция Кобба -- Дугласа будет иметь вид
где Qt(v) -- объем продукции, произведенной за период t на оборудовании, введенном в строй в период v; Lt(v) -- трудовые затраты в период t на обслуживание оборудования, введенного в строй в период v, и Кt(v) -- основной капитал, введенный в строй в период v и использованный в период t. Параметр v в такой производственной функции отражает состояние технического прогресса. Затем для периода t строится агрегированная производственная функция, представляющая собой зависимость совокупного объема выпускаемой продукции Qt от общих затрат труда Lt, и капитала Кt на момент t. При использовании для построения производственной функции пространственной информации, т.е. данных о нескольких фирмах, соответствующих одному и тому же моменту времени, возникают проблемы другого рода. Так как результаты наблюдений относятся к разным фирмам, то при их использовании предполагается, что поведение всех фирм может быть описано с помощью одной и той же функции. Для успешной экономической интерпретации полученной модели желательно, чтобы все эти фирмы принадлежали одной и той же отрасли. Кроме того, считается, что они располагают примерно одинаковыми производственными возможностями и уровнями административного управления. Рассмотренные выше производственные функции носили детерминированный характер и не учитывали влияния случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению. Поэтому в каждое уравнение, параметры которого предстоит оценить, необходимо ввести и случайную переменную е, которая будет отражать воздействие на процесс производства всех тех факторов, которые не вошли в состав производственной функции в явном виде. Таким образом, в общем виде производственную функцию Кобба -- Дугласа можно представить как
Мы получили степенную регрессионную модель, оценки параметров которой А, б и в можно найти методом наименьших квадратов, лишь прибегнув предварительно к логарифмическому преобразованию. Тогда для i-го наблюдения имеем
где Qi, Кi и Li -- соответственно объемы выпуска, капитальных и трудовых затрат для i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., п), а п -- объем выборки, т.е. число наблюдений, используемых для получения оценок ln , и -- параметров производственной функции. Относительно еi обычно предполагается, что они взаимно независимы между собой и еi О N(0, у). Исходя из априорных соображений значения б и в должны удовлетворять условиям 0 < б < 1 и 0 < в < 1. Если предположить, что с изменением масштабов производства уровень эффективности остается постоянным, то, приняв, что в = 1 -- б, имеем
Прибегнув к такой форме выражения производственной функции, можно устранить влияние мультиколлинеарности между ln К и ln L .
Так же важно отметить, что с понятием производственной функции фирмы, увязаны следующие три важные понятия: общего (совокупного), среднего и предельного продукта.
На рис. 22.1, а показана кривая общего продукта (ТР), который изменяется в зависимости от величины переменного фактора X. На кривой ТР отмечены три точки: В - точка перегиба, С - точка, которая принадлежит касательной, совпадающей с линией, соединяющей данную точку с началом координат, D - точка максимального значения ТР. Точка А перемещается по кривой ТР. Соединив точку А с началом координат, получим линию ОА. Опустив перпендикуляр из точки А на ось абсцисс, получим треугольник ОАМ, где tg а есть отношение стороны AM к ОМ, т. е. выражение среднего продукта (АР).
Рисунок.1. а) Кривая общего продукта (ТР); б) кривая среднего продукта (АР) и предельного продукта (МР)
Проведя через точку А касательную, получим угол Р, тангенс которого будет выражать предельный продукт МР. Сопоставляя треугольники LAM и ОАМ, находим, что до определенного момента тангенс Р по величине больше tg а. Таким образом, предельный продукт (МР) больше среднего продукта (АР). В том случае, когда точка А совпадает с точкой В, тангенс Р принимает максимальное значение и, следовательно, предельный продукт (МР) достигает наибольшего объема. Если точка А совпадает с точкой С, то значение среднего и предельного продукта равны. Предельный продукт (МР), достигнув максимального значения в точке В (рис. 22, б), начинает Сокращаться и в точке С пересечется с графиком среднего продукта (АР), который в этой точке достигает максимального значения. Затем и предельный, и средний продукт сокращаются, но предельный продукт уменьшается опережающими темпами. В точке максимума общего продукта (ТР) предельный продукт МР = 0.
Мы видим, что наиболее эффективное изменение переменного фактора X наблюдается на отрезке от точки В до точки С. Здесь предельный продукт (МР), достигнув своего максимального значения, начинает уменьшаться, средний продукт (АР) еще увеличивается, общий продукт (ТР) получает наибольший прирост .
Таким образом, производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов - материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию. Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются полностью и наиболее эффективным способом. Производственная функция обладает следующими свойствами: существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти; ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска.
Характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов () и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.
Производственная функция обладает следующими свойствами:
1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.
2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.
3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды. Мгновенный период — период, когда все ресурсы являются фиксированными. Короткий период — период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным. Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.
Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска (q) от количества используемых труда () и капитала (). Напомним, что под капиталом понимаются средства производства, т.е. количество машин и оборудования, используемое в производстве и измеряемое в машино-часах (тема 2, п. 2.2). В свою очередь количество труда измеряется в человеко-часах.
Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:
A, α, β — заданные параметры. Параметр А — это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величина А возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β — это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.
Построение изокванты
Приведенная производственная функция говорит о том, что производитель может заменять труд капитаном и капитал трудом, оставляя выпуск неизменным. Например, в сельском хозяйстве развитых стран труд является высокомеханизированным, т.е. на одного работника приходится много машин (капитала). Напротив, в развивающихся странах тот же объем производства достигается за счет большого количества труда при незначительном капитале. Это позволяет построить изокванту (рис. 8.1).
Изокванта (линия равного продукта) отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. На рис. 8.1 рядом с изоквантой проставлен соответствующий ей выпуск. Так, выпуск , достижим при использовании труда и капитала или с использованием труда и капитана.
Рис. 8.1. Изокванта
Возможны и другие комбинации объемов труда и капитала, минимально необходимых для достижения данного выпуска.
Все комбинации ресурсов, соответствующих данной изокванте, отражают технически эффективные способы производства. Способ производства A является технически эффективным в сравнении со способом В , если он требует использования хотя бы одного ресурса в меньшем количестве, а всех остальных не в больших количествах в сравнении со способом В . Соответственно способ В является технически неэффективным в сравнении с А. Технически неэффективные способы производства не используются рациональными предпринимателями и не относятся к производственной функции.
Из вышесказанного вытекает, что изокванта не может иметь положительный наклон, как это показано на рис. 8.2.
Отрезок, выделенный пунктиром, отражает все технически неэффективные способы производства. В частности, в сравнении со способом А способ В для обеспечения одинакового выпуска () требует того же количества капитала, но большего количества труда. Очевидно, поэтому, что способ B не является рациональным и не может приниматься в расчет.
На основе изокванты можно определить предельную норму технической замены.
Предельная норма технической замены фактора Y фактором X (MRTS XY) — это количество фактора (например, капитала), от которого можно отказаться при увеличении фактора (например, труда) на 1 ед., чтобы выпуск не изменился (остаемся на прежней изокванте).
Рис. 8.2. Технически эффективное и неэффективное производство
Следовательно, предельная норма технической замены капитала трудом исчисляется по формуле
При бесконечно малых измененияхL и K она составляет
Таким образом, предельная норма технической замены есть производная функции изокванты в данной точке. Геометрически она представляет собой наклон изокванты (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Предельная норма технической замены
При движении сверху — вниз вдоль изокванты предельная норма технической замены все время убывает, о чем говорит уменьшающийся наклон изокванты.
Если же производитель увеличивает и труд, и капитал, то это позволяет ему достичь большего выпуска, т.е. перейти на более высокую изокванту (q 2). Изокванта, расположенная правее и выше предыдущей, соответствует большему объему выпуска. Совокупность изоквант образует карту изоквант (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Карта изоквант
Особые случаи изоквант
Напомним, что приведенные соответствуют производственной функции вида . Но бывают и другие производственные функции. Рассмотрим случай, когда имеет место совершенная замещаемость факторов производства. Допустим, например, что на складских работах можно использовать квалифицированных и неквалифицированных грузчиков, причем производительность квалифицированного грузчика в N раз выше, чем неквалифицированного. Это означает, что мы можем заменить любое количество квалифицированных грузчиков неквалифицированными в соотношении N к одному. И наоборот, можно заменить N неквалифицированных грузчиков одним квалифицированным.
Производственная функция при этом имеет вид: где — число квалифицированных рабочих, — число неквалифицированных рабочих, а и b — постоянные параметры, отражающие производительность соответственно одного квалифицированного и одного неквалифицированного рабочего. Соотношение коэффициентов а и b — предельная норма технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными. Она постоянна и равнаN : MRTS xy = a/b = N.
Пусть, например, квалифицированный грузчик в состоянии в единицу времени обработать 3 т груза (это будет коэффициент а в производственной функции), а неквалифицированный — только 1 т (коэффициент b). Значит, работодатель может отказаться от трех неквалифицированных грузчиков, дополнительно нанимая одного квалифицированного грузчика, чтобы выпуск (общий вес обработанного груза) при этом остался прежним.
Изокванта в данном случае является линейной (рис. 8.5).
Рис. 8.5. Изокванта при совершенной заменяемости факторов
Тангенс угла наклона изокванты равен предельной норме технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными.
Еще одна производственная функция — функция Леонтьева. Она предполагает жесткую дополняемость факторов производства. Это означает, что факторы могут использоваться только в строго определенной пропорции, нарушение которой технологически невозможно. Например, авиационный рейс может быть нормально осуществлен при наличии как минимум одного самолета и пяти членов экипажа. При этом нельзя увеличивать самолето-часы (капитал), одновременно сокращая человеко-часы (труд), и наоборот, и сохранять неизменным выпуск. Изокванты в данном случае имеют вид прямых углов, т.е. предельные нормы технической замены равны нулю (рис. 8.6). В то же время можно увеличивать выпуск (количество рейсов), увеличивая в одной и той же пропорции и труд, и капитал. Графически это означает переход на более высокую изокванту.
Рис. 8.6. Изокванты в случае жесткой дополняемости факторов производства
Аналитически такая производственная функция имеет вид: q = min {aK; bL} , где а иb — постоянные коэффициенты, отражающие производительность соответственно капитала и труда. Соотношение этих коэффициентов определяет пропорцию использования капитала и труда.
В нашем примере с авиарейсом производственная функция выглядит так: q = min{1K; 0,2L} . Дело в том, что производительность капитала здесь составляет один рейс на один самолет, а производительность труда — один рейс на пять человек или 0,2 рейса на одного человека. Если авиакомпания располагает самолетным парком в 10 машин и имеет 40 человек летного персонала, то ее максимальный выпуск составит:q = min{ 1 х 8; 0,2 х 40} = 8 рейсов. Два самолета при этом будут простаивать на земле из-за нехватки персонала.
Взглянем, наконец, на производственную функцию, предполагающую существование ограниченного числа производственных технологий для производства заданного количества продукции. Каждой из них соответствует определенное состояние труда и капитала. В результате мы имеем ряд опорных точек в пространстве «труд-капитал», соединив которые, получаем ломаную изокванту (рис. 8.7).
Рис. 8.7. Ломаные изокванты при наличии ограниченного числа производственных методов
На рисунке видно, что выпуск продукции в объемеq 1 можно получить при четырех комбинациях труда и капитала, соответствующих точкам А, B, С иD . Возможны также и промежуточные комбинации, достижимые в тех случаях, когда предприятие совместно использует две технологии для получения определенного совокупного выпуска. Как всегда, увеличив количества труда и капитала, мы переходим на более высокую изокванту.
