Тема: Окружность
Урок: Точка пересечения высот треугольника
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра .
Задан треугольник , скажем для определенности, что он остроугольный (см. Рис. 1). Ничего не изменится, если мы возьмем тупоугольный треугольник.
Доказать, что
Рис. 1
Доказательство:
Мы хотим свести доказательство к предыдущим уже доказанным теоремам, например, теореме о пересечении серединных перпендикуляров.
Для этого проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам (см. Рис. 2):
через вершину А - прямую ,
через вершину В - прямую ,
через вершину С - прямую .
Рис. 2
Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства.
Значит, . Аналогично . Отсюда четырехугольник является параллелограммом.
Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .
Аналогично , по построению. Четырехугольник - параллелограмм. Отсюда , .
Отсюда . Таким образом, точка А - середина отрезка , а значит, высота АА 1 в маленьком треугольнике - это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.
Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В - середина отрезка , ВВ 1 - серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С - середина , СС 1 - серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.
Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА 1 , ВВ 1 , СС 1 пересекутся в одной точке - в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.
Мы доказали теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника, самостоятельно вы можете доказать эту же теорему, если треугольник не является остроугольным. Например, если треугольник прямоугольный, ортоцентр совпадает с вершиной, угол при которой прямой, т.к. две из высот совпадают с катетами, а третья выходит из этой вершины (см. Рис. 3).
Рис. 3
Рассмотрим шуточную задачу, которая позволит вспомнить многие важные факты.
Задача
Задана окружность с центром в точке О и диаметром АВ. Точка С вне окружности. Пользуясь только линейкой, опустить перпендикуляр на прямую АВ из точки С (см. Рис. 4).
Рис. 4
Проведем прямую АС, получаем точку М пересечения проведенной прямой с окружностью.
Проведем прямую ВС, получаем точку N пересечения проведенной прямой с окружностью.
Проведем прямые AN и ВМ, получим их точку пересечения Н (см. Рис. 5).
Доказать, что .
Рис. 5
Доказательство:
Мы изучили теоремы о вписанных углах и следствия из них. Согласно одному из таких следствий, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, отсюда:
Напомним, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Итак, , отсюда ВМ - высота треугольника . Также, AN - высота треугольника .
Две высоты треугольника пересекаются в точке Н, мы знаем, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит, и третья высота пройдет через точку Н. отсюда СК - высота треугольника, СК⊥АВ, что и требовалось доказать.
Итак, на данном уроке мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника и решили шуточную задачу, в которой вспомнили некоторые важные геометрические факты.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
- Home-edu.ru ().
- Mat.1september.ru ().
Домашнее задание
- Задание 1 - доказать теорему о пересечении высот для прямоугольного треугольника.
- Задание 2 - доказать теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника.
- Задание 3 - задана окружность с центром О и радиусом АВ. Точка С лежит внутри окружности. При помощи только линейки построить перпендикуляр из точки С на прямую АВ.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
