Таблица делимости натуральных чисел. Старт в науке

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле, делится или не делится данное число на некоторые другие числа.

Числа, которые делятся на 2, называют чётными . Число нуль тоже относится к чётным числам. Все остальные числа называют нечётными :

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - чётные,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - нечётные.

Признаки делимости

Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) - чётная.

Признак делимости на 3 . На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на 4 . Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5 . На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 6 . Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8 . На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признак делимости на 9 . На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.

Для начала рассмотрим пример - решение задачи 19 (по теме натуральные числа ) - КИМ реального ЕГЭ 2015 года, досрочный период, базовый уровень. (Теория к ней - признаки делимости - ниже.)

Задача 19

Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Раскладываем делитель - число 12 на простые множители. 12 = 3×4=3×2×2.
Следовательно, заданное число после вычеркивания чисел должно делиться на 3 и 4 или на 2, еще раз на 2 и, наконец, на 3.
На 2 делятся чётные числа, поэтому 1 в конце вычеркиваем сразу. Останется 18161512.
Но нам нужно, чтобы оно делилось на 2 дважды, т.е. делилось на 4.
Признак делимости на 4 утверждает, что для этого на 4 должно делиться двузначное число, образованное последними двумя цифрами. 12: 4 = 3, поэтому две последние цифры числа 18161512 вычеркивать нельзя. Они гарантируют делимость числа на 4 (на обе двойки).
Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы на 3 делилась сумма его цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3×8 + 1 - можно вычеркнуть одну из единиц, но по условию задачи нужно вычеркнуть еще две цифры;
25 = 3×7 + 4 - нет двух цифр для вычеркивания, сумма которых равнялась бы 4, т.к. последние цифры 1 и 2 трогать нельзя;
25 = 3×6 + 7 - сумма двух вычеркнутых цифр будет равна 7, если вычеркнуть 6-ку и любую из единиц, кроме последней.
Итак, возможные ответы: 811512 или 181512. Выбираем один из них, например

Ответ:181512

Замечание: на реальном ЕГЭ сделайте проверку своего ответа делением в столбик.

У кого-то могут возникнуть вопросы, что такое простые множители и как раскладывать на простые множители?
Простые множители нельзя дальше разделить. Простые числа делятся только на себя и на 1, например, 13:1 = 13 или 13:13 = 1 и всё. А раскладывать лучше постепенно.
Например 60 = 6×10, 6 = 2×3 и 10 = 2×5, значит 60 = 2×3×2×5.

Для решения подобных задач нужно знать теоремы - признаки делимости натуральных чисел. Чем больше вы знаете признаков, тем быстрее решите задачу. Повторите основные из них.

Признаки делимости натуральных чисел

С тех пор, как человечество изобрело обыкновенные и десятичные дроби, мы можем применять операцию деления к любым величинам. Однако, понятие делимость чисел обычно рассматривают на множестве натуральных чисел. Когда мы говорим "число делится", то подразумеваем, что деление происходит без остатка и результатом деления также является натуральное число.

Признак делимости на 2.

На 2 делятся все чётные числа. Мы потому и называем их чётными.

Число делится на два тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, т.е. 2, 4, 6, 8, 0.

Признак делимости на 3.

Натуральное число делится на три тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например, 4539861 делится на 3, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 3.
Например, 394762 не делится на 3, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 3.
Можете проверить с помощью любимого калькулятора
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Если сумма цифр получилась многозначным числом, её делимость можно проверить этим же признаком.
Например, 165394786171277984079 делится на 3, т.к. 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9=111. 111 делится на 3, т.к. 1+1+1=3. Число 3 делится на 3.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Признак делимости на 4.

Натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Что касается проверки делимости на 4 двузначного числа, то используем тот факт, что 4 = 2×2, т.е. разделить на 4 - то же самое, что два раза подряд разделить на 2. Поэтому, во-первых, двузначное число должно быть четным, а, во-вторых, его легко разделить на 2 и посмотреть является ли результат также четным числом. Например,

5773211789020783 не делится на 4, т.к. 83 не делится на 2.
4920904953478666 не делится на 4, т.к. 66: 2 = 33 - нечётное число.
5897592348940996 делится на 4, т.к. 96: 2 = 48 - чётное число.

Доказательство работоспособности этого признака основано на делимости 100 на 4 и теореме о делимости суммы, которая приведена ниже. Здесь рассмотрим объяснение на примере из приведенной задачи ЕГЭ.
18161512 = 18161500 + 12 = 181615×100 + 12 = 181615×25×4 + 3×4 = (181615×25+3)×4.
В скобках получится натуральное число, значит исходное число можно разделить на 4 без остатка.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 5, либо 0.

Признак делимости на 6 обычно не формулируется как теорема. Так как 6=2×3, то используются последовательно признаки делимости на 2 и на 3. Таким образом, на 6 делятся чётные числа, сумма цифр которых делится на 3.
629 - не делится на 6, нечётное.
692 - не делится на 6, чётное, но 6+9+2=17 не делится на 3.
792 - делится на 6, чётное и 7+9+2=18 делится на 3.

Признак делимости на 8 также не формулируется как теорема.
Так как 8 = 2×4 и 1000 = 250×4, поэтому для чисел больше 1000 по аналогии с признаком делимости на 4 проверяется делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами, а для чисел меньше 1000 (трёхзначных) используются последовательно непосредственное деление на 2 и проверка полученного результата по признаку деления на 4. Например,
58989081099472 - делится на 8, так как 472: 2 = 236, а 36 делится на 4.

Признак делимости на 9.

Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например, 4539861 делится на 9, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 9.
Например, 394762 не делится на 9, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 9.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

Признак делимости на 10.

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Этот признак легко распространить на любые степени десятки. Число делится на 100, когда две его последние цифры являются нулями, на 1000, когда в конце три нуля и т.д.

Легко запоминающихся признаков делимости на простые числа типа 7, 11, 13, 17 ... , к сожалению, нет. Организаторы ЕГЭ это знают и задач, ориентированных на применение исключительно таких методов решения не включат. Хотя за долгую историю развития техники устного счёта математики, конечно, выявили и сформулировали некоторые общие особенности делимости таких чисел. Интересующиеся могут обратиться к википедии.

Я бы порекомендовала только обратить внимание еще на число 11. Ясно, что двузначное число делится на 11, если оно состоит из одинаковых цифр. Трёхзначное число делится на 11, если его средняя цифра равна сумме двух крайних, или если сумма первой и последней цифр равна средней цифре плюс 11. Например, 495 делится на 11, так как 4+5=9, а 957 делится на 11, так как 9+7=5+11.

А в заучивании признаков делимости на составные числа нет необходимости. Составные числа можно разложить на простые множители.

Теоремы о делимости произведения и суммы натуральных чисел.

Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Например, произведение 475×1230×800 делится на 3, так как второй сомножитель удовлетворяет признаку деления на 3 - сумма его цифр 1+2+3+0=6 делится на 3.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Например, сумма 475 + 1230 + 800 делится на 5, так как каждое сгагаемое удовлетворяет признаку деления на 5.

Обратное утверждение о делимости суммы не верно. Если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то для суммы возможны оба варианта, как делится, так и не делится.
43 не делится на 5, 17 не делится на 5, 43 + 17 = 60 делится на 5.

Обратное утверждение о делимости произведения можно сформулировать только после разложения делителя на простые сомножители. Собственно этому действию и была посвящена задача, которая помещена в начале раздела.

Если вы дружите с алгеброй и умеете выносить общий множитель за скобки и сокращать обыкновенные дроби, то теорему о делимости суммы можно запомнить как наличие общего сомножителя, а теорему о делимости произведения, как возможность сократить обыкновенную дробь.

Пользуясь теоремой о делимости суммы, можно "съэкономить" на вычислениях, например, при проверке признаков делимости на 3 и на 9. При сложении цифр больших чисел можно из суммы выбросить все цифры заведомо делящиеся, соответственно, на 3 или 9.
Вернемся к последнему примеру из пункта "признак деления на 3".
Для числа 165394786171277984079 вместо 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9 вычисляем 1+5+4+7+8+1+7+1+2+7+7+8+4+0+7= 69. Результат тот же - делится на 3.

И последнее:
Математики не любят много писать. Длинные предложения и повторы одних и тех же слов хороши при объяснении решения, но при его записи желательно пользоваться условными обозначениями. Для термина "делится" можно использовать символ ⋮ вертикальное многоточие.
48⋮ 6 означает, что 48 делится на 6, или что число 48 кратно числу 6.

Задачи для самопроверки.

Здесь приведены задачи с решениями, которые временно скрыты, чтобы вы могли сначала самостоятельно подумать над ними, а затем нажать кнопку для сравнения своего и моего решений. Аналогичные задачи с проверкой вашего ответа можно найти в Открытом банке заданий Федеральнного института педагогических измерений.

Задача 1

Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.

Показать решение

Разложим число 40 на простые множители. 40 = 2×2×2×5.
Таких множителей всего четыре, цифр недостаточно для пятизначного числа, но в произведение всегда можно добавить единицу, результат от этого не изменится.
40 = 2×2×2×5×1.
Таким образом, число в ответе можно составить только из этих цифр: 1,2,2,2,5.
Чтобы число было кратным 12 (то же самое, что делилось на 12 без остатка) оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и на 4, так как 12 = 3×4.
Проверим сумму цифр 1+2+2+2+5 = 12. Она делится на 3, поэтому наше число будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
А чтобы оно делилось на 4, в конце нужно поставить две цифры так, чтобы образованное ими число делилось на 4.
Очевидно, что последней цифрой должна быть 2-ка, другие - нечетные. Проверим варианты 12, 22, 52.
12:4 = 3; 22:4 = 11:2 - не делится нацело; 52:4 = 13.
Вывод: число должно быть составлено так, чтобы в конце было 12 или 52, а в начале любые перестановки из оставшихся трёх цифр.
Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. В ответ пишем один из них. Например,

Ответ: 21252

Замечание: ваше решение должно быть несколько короче, ведь достаточно найти хотя бы один из возможных ответов.

Задача 2

Приведите пример трёхзначного числа кратного 15, произведение цифр которого равно 30. В ответе укажите ровно одно такое число.

Показать решение

Разложим число 30 на простые множители. 30 = 2×3×5.
Таких множителей три, нам нужно составить трёхзначное число, которое делится на 15, т.е. удовлетворяет признакам делимости на 3 и на 5, так как 15 = 3×5.
Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться цифрой 5.
Проверим сумму цифр 2+3+5 = 10. Сумма цифр не делится на 3, поэтому наше число не будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
Тупик? Нет. Снова вспоминаем, что в качестве сомножителей можно добавить любое количество единиц и результат не изменится.
Представим 30 как 2×3×5×1.
Теперь возможных цифр для составления трёхзначного числа больше, чем нужно. Поэтому сгруппируем некоторые простые сомножители в составные: 2×5=10 и 3×5=15 это не цифры, а двузначные числа. 2×3=6 Число 6 обозначается цифрой 6.
Представим 30 как 6×5×1.
Проверим сумму цифр 6+5+1 = 12. Делится на 3. Таким образом, число в ответе можно составить из цифр: 6,5,1. Последней цифрой должна быть 5-ка.

Возможные ответы: 615, 165

Задача 3

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2277. Приведите ровно один пример такого числа.

Показать решение

Число, кратное 5, оканчивается цифрами 0 или 5. Тогда число, записанное в обратном порядке, должно начинаться с 0 или с 5. Если число начинается с 0, то оно уже не будет четырёхзначным, а станет трёхзначным, так как 0 в начале обычно не пишут. Например, 0348 это просто 348. Значит искомое число заканчивается цифрой 5. Остальные его цифры обозначим буквами a,b,c . Само число в таком случае обозначается abc 5____ .
Черта вверху здесь нужна для того, чтобы не путать это обозначение с алгебраическим произведением переменных (a умножить на b , умножить на с ...). Число записанное в обратном порядке обозначается 5сba ____ .
По условию

abc 5____ − 5сba ____ = 2277.
Представим себе, что мы выполняем это вычитание в столбик.
1) 5 меньше 7, значит при вычитании приходилось занимать десяток.
10 + 5 − a = 7. a = 15 − 7 = 8.
2) При вычитании десятков не так очевидно, занимали или не занимали единицу в разряде сотен. Сначала допустим, что не занимали. Тогда из уменьшенного на единицу числа c вычитали b и получили 7
(c − 1) − b = 7. c = 8 + b .
Такому варианту подходят b = 0 и b = 1. Большие значения b увеличат c до двузначного числа. Воозьмём к примеру b = 1, тогда c = 9, и проверкой убеждаемся в том, что число 8195 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 8195

Замечание: Может быть еще верный ответ 8085, если выбрать b = 0 на шаге 2). Сработает ли допущение, что при вычитании десятков занимали единицу в разряде сотен, проверьте самостоятельно.

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 3 ». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы. Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на 3 чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на 3 .

Признак делимости на 3 , примеры

Формулируется признак делимости на 3 просто: целое число будет делиться на 3 без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на 3 . Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на 3 не делится, то и само исходное число на 3 не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.

Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на 3 .

Пример 1

Делится ли на 3 число - 42 ?

Решение

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа - 42: 4 + 2 = 6 .

Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на 3 .

Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на 3 число 0 , нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.

Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.

Пример 2

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Решение

Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Теперь нам нужно определить, делится ли на 3 число 39 . Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: 3 + 9 = 12 . Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: 1 + 2 = 3 . Число 3 делится на 3

Ответ: исходное число 907 444 812 также делится на 3 .

Пример 3

Делится ли на 3 число − 543 205 ?

Решение

Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: 1 + 9 = 10 . Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: 1 + 0 = 1 .
Ответ: единица на 3 не делится, значит и исходное число на 3 не делится.

Для того, чтобы определить, делится ли данное число на 3 без остатка, мы можем провести деление данного числа на 3 . Если разделить число − 543 205 из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что − 543 205 на 3 без остатка не делится.

Доказательство признака делимости на 3

Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на 10 , 100 и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа a вида , где a n , a n − 1 , … , a 0 – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.

Приведем пример с использованием конкретного числа: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8 .

Запишем ряд равенств: 10 = 9 + 1 = 3 · 3 + 1 , 100 = 99 + 1 = 33 · 3 + 1 , 1 000 = 999 + 1 = 333 · 3 + 1 и проч.

А теперь подставим эти равенства вместо 10 , 100 и 1000 в равенства, приведенные ранее a = a n · 10 n + a n - 1 · 10 n - 1 + … + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0 .

Так мы пришли к равенству:

a = a n · 10 n + … + a 2 · 100 + a 1 · 10 + a 0 = = a n · 33 . . . . 3 · 3 + 1 + … + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0

А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Выражение a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - это сумма цифр исходного числа a . Введем для нее новое краткое обозначение А . Получаем: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

В этом случае представление числа a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на 3 .

Определение 1

Теперь вспомним следующие свойства делимости:

необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число a делилось на целое число
b , является условие, по которому модуль числа a делится на модуль числа b ;
если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на 3 . Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.

Теорема 1

Для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 3 , нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа a , делилась на 3 .

Доказательство 1

Если взять значение a = 0 , то теорема очевидна.

Если ы возьмем число a , отличное от нуля, то модуль числа a будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:

a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , где A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то
33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 - целое число, тогда по определению делимости произведение 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 делится на 3 при любых a 0 , a 1 , … , a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, A делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, a делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и a делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число
A делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения 4 n + 3 n - 1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3 . Применение признака делимости на 3 также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.

Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3 ;
на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3 .

В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

Пример 4

Делится ли значение выражения 4 n + 3 n - 1 на 3 при любом натуральном n ?

Решение

Запишем равенство 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 · 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + + C n n - 2 · 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + 6 n - 3

Теперь вынесем 3 за скобки: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Полученное произведение содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4 n + 3 n - 1 делится на 3 .

Ответ: Да.

Также мы можем применить метод математической индукции.

Пример 5

Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
n значение выражения n · n 2 + 5 делится на 3 .

Решение

Найдем значение выражения n · n 2 + 5 при n = 1 : 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 делится на 3 .

Теперь предположим, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k делится на 3 . Фактически, нам придется работать с выражением k · k 2 + 5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3 .

Учитывая, что k · k 2 + 5 делится на 3 , покажем, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k + 1 делится на 3 , то есть, покажем, что k + 1 · k + 1 2 + 5 делится на 3 .

Выполним преобразования:

k + 1 · k + 1 2 + 5 = = (k + 1) · (k 2 + 2 k + 6) = = k · (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + k · 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 · k 2 + k + 2

Выражение k · (k 2 + 5) делится на 3 и выражение 3 · k 2 + k + 2 делится на 3 , поэтому их сумма делится на 3 .

Так мы доказали, что значение выражения n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .

Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3 , которых основан на следующем алгоритме действий:

показываем, что значение данного выражения с переменной n при n = 3 · m , n = 3 · m + 1 и n = 3 · m + 2 , где m – произвольное целое число, делится на 3 ;
делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n .

Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.

Пример 6

Покажите, что n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .

Решение

Предположим, что n = 3 · m . Тогда: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3 , следовательно само произведение делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 1 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2 m + 2)

Произведение, которое мы получили, делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 2 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Это произведение также делится на 3 .

Ответ: Так мы доказали, что выражение n · n 2 + 5 делится на 3 при любом натуральном n .

Пример 7

Делится ли на 3 значение выражения 10 3 n + 10 2 n + 1 при некотором натуральном n .

Решение

Предположим что n = 1 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Предположим, что n = 2 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3 . Это значит, что 10 3 n + 10 2 n + 1 при любом натуральном n делится на 3 .

Ответ: Да

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b .

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a , или b делит a , или b входит множителем в a .

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b , b -кратное c , то a кратное c .

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b - кратные числа c , то их сумма и разность также кратные числа c .

Действительно. Так как

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m , которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r 1 , 10·r 1 на m будет r 2 , и т.д. Тогда можно записать:

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

(3)

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A"

(6)

(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m . Рассуждая аналогично, получим - правая часть (6) делится на m , следовательно левая часть (6) также делится на m , правая часть (7) делится на m , следовательно левая часть (7) также делится на m . Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m . Следовательно A и A" имеют одинаковый остаток при делении на m . В этом случае говорят, что A и A" равноостаточные или сравнимыми по модулю m .

Таким образом, если A" делится на m m ) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m ). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A" .

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2 , получим:

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7 , получим: