Системы рациональных неравенств
Текст урока
конспект [Безденежных Л.В.]
Алгебра, 9 класс УМК: А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс. В 2ч. Ч.1.Учебник; Ч.2.Задачник; М.: Мнемозина, 2010 Уровень обучения: базовый Тема урока: Системы рациональных неравенств. (Первый урок по теме, всего на изучение темы отводится 3 часа) Урок изучения новой темы. Цель урока: повторить решение линейных неравенств; ввести понятия системы неравенств, объяснить решение простейших систем линейных неравенств; формировать умение решать системы линейных неравенств любой сложности. Задачи: Образовательные: изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений систем линейных неравенств в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них. Развивающие: развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно - деятельностной методики и элементов проблемного обучения. Воспитательные: формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества. Методы проведения: - лекция с элементами беседы и проблемного обучения; -самостоятельная работа учащихся с теоретическим и практическим материалом по учебнику; -выработка культуры оформления решения систем линейных неравенств. Планируемые результаты: учащиеся вспомнят как решать линейные неравенства, отмечать пересечение решений неравенств на числовой прямой, научатся решать системы линейных неравенств. Оборудование урока: классная доска, раздаточный материал (приложение), учебники, рабочие тетради. Содержание урока: 1. Организационный момент. Проверка домашнего задания. 2. Актуализация знаний. Учащиеся вместе с учителем заполняют таблицу на доске: Неравенство Рисунок Промежуток Ниже приводится готовая таблица: Неравенство Рисунок Промежуток 3. Математический диктант. Подготовка к восприятию новой темы. 1.По образцу таблицы решить неравенства: Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 4. Объяснение нового материала. Объяснение нового материала (стр.40-44): 1. Дать определение системы неравенств (стр. 41). Опр-е: Несколько неравенств с одной переменной х образуют систему неравенств, если ставиться задача найти все такие значения переменной, при которых каждое из заданных неравенств с переменной обращается в верное числовое неравенство. 2. Ввести понятие частное и общее решение системы неравенств. Любое такое значение х называют решением (или частным решением) системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств. 3. Рассмотреть в учебнике решение систем неравенств по примеру №3(а, б, в). 4. Обобщить рассуждения, решив систему:. 5. Закрепление нового материала. Решить задания из № 4.20 (а,б), 4.21 (а,б) . 6. Проверочная работа Проверить усвоение нового материала, активно помогая в решении заданий по вариантам: Вариант 1 а, в №4.6, 4.8 Вариант 2 б, г № 4.6, 4.8 7. Подведение итогов. Рефлексия С какими новыми понятиями вы сегодня познакомились? Научились ли вы находить решения системы линейных неравенств? Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? 8. Домашнее задание: № 4.5, 4.7.; теория в учебнике стр. 40-44; Для учащихся с повышенной мотивацией № 4.23 (в,г). Приложение. Вариант 1. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 2. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 3. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 4. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос.
Скачать: Алгебра 9кл - конспект [Безденежных Л.В.].docxконспект уроков 2-4 [Зверева Л.П.]
Алгебра 9класс УМК: АЛГЕБРА-9КЛАСС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семёнов, 2014год. Уровень -- обучения-базовый Тема урока: Системы рациональных неравенств Общее количество часов, отведенное на изучение темы-4часа Место урока в системе уроков по теме урок №2 ;№3; №4. Цель урока: Научить учащихся составлять системы неравенств, а также научить решать уже готовые системы, предложенные автором учебного пособия. Задачи урока: Формировать умения: свободно решать системы неравенств аналитически, а также уметь переносить решение на координатную прямую с целью правильной записи ответа, самостоятельно работать с заданным материалом. .Планируемые результаты: Учащиеся должны уметь решать уже готовые системы, а также составлять системы неравенств по текстовому условию заданий и решать составленную модель. Техническое обеспечение урока:УМК: АЛГЕБРА-9КЛАСС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семёнов. Рабочая тетрадь, проектор для проведения устного счёта, распечатки дополнительных заданий для сильных учащихся. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на Интернет-ресурсы): 1.Пособие Н.Н.Хлевнюк, М.В. Иванова, В.Г. Иващенко, Н.С. Мелкова «Формирование вычислительных навыков на уроках математики 5-9 классы» 2.Г.Г.Левитас «Математические диктанты» 7-11 класс.3. Т.Г. Гулина «Математический тренажёр» 5-11 (4 уровня сложности) Учитель математики: Зверева Л.П. У р о к № 2 Цели: Отработка навыков решения системы рациональных неравенств с использованием для наглядности результата решения геометрической интерпретации. Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 11 Проверка домашней работы 1. Теоретическая часть: * Что собой представляет аналитическая запись рационального неравенства * Что собой представляет аналитическая запись системы рациональных неравенств *Что значит решить систему неравенств *Чем является результат решения системы рациональных неравенств. 2. Практическая часть: *Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. В ходе выполнения домашнего задания II1 Выполнение упражнений. 1.Повторить способы разложения многочлена на множители. 2. Повторить, в чем заключается метод интервалов при решении неравенств. 3. Решить систему. Решение ведёт ученик сильный у доски под контролем учителя. 1) Решим неравенство 3х – 10 > 5х – 5; 3х – 5х> – 5 + 10; – 2х> 5; х< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х> Решение данной системы неравенств х> О т в е т: х> 6. Решить № 4.10 (в) на доске и в тетрадях. Решим неравенство 5х2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х2–2х + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16 < 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 > 0. 2х2 + 5х + 10 = 0; D = –55 < 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >х> – 2, тогда – 2 < х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р> 7. 8. Повторение ранее изученного материала. Решить № 2.33. Пусть первоначальная скорость велосипедиста х км/ч, после уменьшения стала (х – 3) км/ч. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; тогда х2 – 17х + 30 = 0; D = 169; х1 = 15; х2 = 2 не удовлетворяет смыслу задачи. О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч. IV.Вывод по уроку: Науроке учились решать системы неравенств усложнённого вида особенно с модулем, попробовали свои силы в самостоятельной работе. Выставление отметок. Домашнее задание: выполнить на отдельных листочках домашнюю контрольную работу №1 с № 7 по № 10 на с. 32–33 , № 4.34 (а; б), № 4.35 (а; б). У р о к 4 Подготовка к контрольной работе Цели: обобщить и систематизировать изученный материал, подготовить учащихся к контрольной работе по теме «Системы рациональных неравенств» Ход урока 1. Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока. 11.Повторение изученного материала. *Что значит решить систему неравенств *Чем является результат решения системы рациональных неравенств 1. Собрать листочки с выполненной домашней контрольной работой. 2. Какие правила применяют при решении неравенств? Объясните решение неравенств: а) 3х – 8 <х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 > 0; б) – 2х2 + х – 5 > 0; в) 3х2 – х + 4 ≤ 0. 4. Сформулируйте определение системы неравенств с двумя переменными. Что значит решить систему неравенств? 5. В чем заключается метод интервалов, активно используемый при решении рациональных неравенств? Объясните это на примере решения неравенства: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Тренировочные упражнения. 1. Решить неравенство: а) 12(1 – х) ≥ 5х – (8х + 2); б) – 3х2 + 17х + 6 < 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 > 0, х> – 2. Это не соответствует ни заданию а), ни заданию б). Значит, можно считать, что р ≠ 2, то есть заданное неравенство является квадратным. а) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с> 0 не имеет решений, если а< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с> 0 выполняется при любых значениях х, если а> 0 и D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р> IV. Итоги урока. Необходимо дома просмотреть весь изученный материал и подготовиться к контрольной работе. Домашнее задание: № 1.21 (б; г), № 2.15 (в; г); № 4.14 (г), № 4.28 (г); № 4.19 (а), № 4.33 (г).
С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
А сегодня рациональные неравенства не все могут решать. Точнее, решать могут не только лишь все. Мало кто может это делать.
КличкоЭтот урок будет жёстким. Настолько жёстким, что до конца его дойдут лишь Избранные. Поэтому перед началом чтения рекомендую убрать от экранов женщин, кошек, беременных детей и...
Да ладно, на самом деле всё просто. Допустим, вы освоили метод интервалов (если не освоили — рекомендую вернуться и прочитать) и научились решать неравенства вида $P\left(x \right) \gt 0$, где $P\left(x \right)$ — какой-нибудь многочлен или произведение многочленов.
Полагаю, что для вас не составит труда решить, например, вот такую дичь (кстати, попробуйте для разминки):
\[\begin{align} & \left(2{{x}^{2}}+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2{{x}^{2}}-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-{{x}^{4}} \right){{\left(x-5 \right)}^{6}}\le 0. \\ \end{align}\]
Теперь немного усложним задачу и рассмотрим не просто многочлены, а так называемые рациональные дроби вида:
где $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ — всё те же многочлены вида ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{0}}$, либо произведение таких многочленов.
Это и будет рациональное неравенство. Принципиальным моментом является наличие переменной $x$ в знаменателе. Например, вот это — рациональные неравенства:
\[\begin{align} & \frac{x-3}{x+7} \lt 0; \\ & \frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}\ge 0; \\ & \frac{3{{x}^{2}}+10x+3}{{{\left(3-x \right)}^{2}}\left(4-{{x}^{2}} \right)}\ge 0. \\ \end{align}\]
А это — не рациональное, а самое обычное неравенство, которое решается методом интервалов:
\[\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{5}\ge 0\]
Забегая вперёд, сразу скажу: существует как минимум два способа решения рациональных неравенств, но все они так или иначе сводятся к уже известному нам методу интервалов. Поэтому прежде чем разбирать эти способы, давайте вспомним старые факты, иначе толку от нового материла не будет никакого.
Что уже нужно знать
Важных фактов не бывает много. Действительно потребуются нам всего четыре.
Формулы сокращённого умножения
Да, да: они будут преследовать нас на протяжении всей школьной программы математики. И в университете тоже. Этих формул довольно много, но нам потребуются лишь следующие:
\[\begin{align} & {{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left(a\pm b \right)}^{2}}; \\ & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right); \\ & {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right). \\ \end{align}\]
Обратите внимание на последние две формулы — это сумма и разность кубов (а не куб суммы или разности!). Их легко запомнить, если заметить, что знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, а во второй — противоположен знаку исходного выражения.
Линейные уравнения
Это самые простые уравнения вида $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — это обычные числа, причём $a\ne 0$. Такое уравнение решается просто:
\[\begin{align} & ax+b=0; \\ & ax=-b; \\ & x=-\frac{b}{a}. \\ \end{align}\]
Отмечу, что мы имеем право делить на коэффициент $a$, ведь $a\ne 0$. Это требование вполне логично, поскольку при $a=0$ мы получим вот что:
Во-первых, в этом уравнении нет переменной $x$. Это, вообще говоря, не должно нас смущать (такое случается, скажем, в геометрии, причём довольно часто), но всё же перед нами уже не линейное уравнение.
Во-вторых, решение этого уравнения зависит исключительно от коэффициента $b$. Если $b$ — тоже ноль, то наше уравнение имеет вид $0=0$. Данное равенство верно всегда; значит, $x$ — любое число (обычно это записывается так: $x\in \mathbb{R}$). Если же коэффициент $b$ не равен нулю, то равенство $b=0$ никогда не выполняется, т.е. ответов нет (записывается $x\in \varnothing $ и читается «множество решений пусто»).
Чтобы избежать всех этих сложностей, просто полагают $a\ne 0$, что нисколько не ограничивает нас в дальнейших размышлениях.
Квадратные уравнения
Напомню, что квадратным уравнением называется вот это:
Здесь слева многочлен второй степени, причём снова $a\ne 0$ (в противном случае вместо квадратного уравнения мы получим линейное). Решаются такие уравнения через дискриминант:
- Если $D \gt 0$, мы получим два различных корня;
- Если $D=0$, то корень будет один, но второй кратности (что это за кратность и как её учитывать — об этом чуть позже). Либо можно сказать, что уравнение имеет два одинаковых корня;
- При $D \lt 0$ корней вообще нет, а знак многочлена $a{{x}^{2}}+bx+c$ при любом $x$ совпадает со знаком коэффициента $a$. Это, кстати, очень полезный факт, о котором почему-то забывают рассказать на уроках алгебры.
Сами корни считаются по всем известной формуле:
\[{{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]
Отсюда, кстати, и ограничения на дискриминант. Ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует. По поводу корней у многих учеников жуткая каша в голове, поэтому я специально записал целый урок: что такое корень в алгебре и как его считать — очень рекомендую почитать .:)
Действия с рациональными дробями
Всё, что было написано выше, вы и так знаете, если изучали метод интервалов. А вот то, что мы разберём сейчас, не имеет аналогов в прошлом — это совершенно новый факт.
Определение. Рациональная дробь — это выражение вида
\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)}\]
где $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ — многочлены.
Очевидно, что из такой дроби легко получить неравенство — достаточно лишь приписать знак «больше» или «меньше» справа. И чуть дальше мы обнаружим, что решать такие задачи — одно удовольствие, там всё очень просто.
Проблемы начинаются тогда, когда в одном выражении находятся несколько таких дробей. Их приходится приводить к общему знаменателю — и именно в этот момент допускается большое количество обидных ошибок.
Поэтому для успешного решения рациональных уравнений необходимо твёрдо усвоить два навыка:
- Разложение многочлена $P\left(x \right)$ на множители;
- Собственно, приведение дробей к общему знаменателю.
Как разложить многочлен на множители? Очень просто. Пусть у нас есть многочлена вида
Приравниваем его к нулю. Получим уравнение $n$-й степени:
\[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0\]
Допустим, мы решили это уравнение и получили корни ${{x}_{1}},\ ...,\ {{x}_{n}}$ (не пугайтесь: в большинстве случаев этих корней будет не более двух). В таком случае наш исходный многочлен можно переписать так:
\[\begin{align} & P\left(x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}= \\ & ={{a}_{n}}\left(x-{{x}_{1}} \right)\cdot \left(x-{{x}_{2}} \right)\cdot ...\cdot \left(x-{{x}_{n}} \right) \end{align}\]
Вот и всё! Обратите внимание: старший коэффициент ${{a}_{n}}$ никуда не исчез — он будет отдельным множителем перед скобками, и при необходимости его можно внести в любую из этих скобок (практика показывает, что при ${{a}_{n}}\ne \pm 1$ среди корней почти всегда есть дроби).
Задача. Упростите выражение:
\[\frac{{{x}^{2}}+x-20}{x-4}-\frac{2{{x}^{2}}-5x+3}{2x-3}-\frac{4-8x-5{{x}^{2}}}{x+2}\]
Решение. Для начала посмотрим на знаменатели: все они — линейные двучлены, и раскладывать на множители тут нечего. Поэтому давайте разложим на множители числители:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2{{x}^{2}}-5x+3=2\left(x-\frac{3}{2} \right)\left(x-1 \right)=\left(2x-3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5{{x}^{2}}=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac{2}{5} \right)=\left(x+2 \right)\left(2-5x \right). \\\end{align}\]
Обратите внимание: во втором многочлене старший коэффициент «2» в полном соответствии с нашей схемой сначала оказался перед скобкой, а затем был внесён в первую скобку, поскольку там вылезла дробь.
То же самое произошло и в третьем многочлене, только там ещё и порядок слагаемых перепутан. Однако коэффициент «−5» в итоге оказался внесён во вторую скобку (помните: вносить множитель можно в одну и только в одну скобку!), что избавило нас от неудобств, связанных с дробными корнями.
Что касается первого многочлена, там всё просто: его корни ищутся либо стандартно через дискриминант, либо по теореме Виета.
Вернёмся к исходному выражению и перепишем его с разложенными на множители числителями:
\[\begin{matrix} \frac{\left(x+5 \right)\left(x-4 \right)}{x-4}-\frac{\left(2x-3 \right)\left(x-1 \right)}{2x-3}-\frac{\left(x+2 \right)\left(2-5x \right)}{x+2}= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end{matrix}\]
Ответ: $5x+4$.
Как видите, ничего сложного. Немного математики 7—8 класса — и всё. Смысл всех преобразований в том и состоит, чтобы получить из сложного и страшного выражения что-нибудь простое, с чем легко работать.
Однако так будет не всегда. Поэтому сейчас мы рассмотрим более серьёзную задачу.
Но сначала разберёмся с тем, как привести две дроби к общему знаменателю. Алгоритм предельно прост:
- Разложить на множители оба знаменателя;
- Рассмотреть первый знаменатель и добавить к нему множители, имеющиеся во втором знаменателе, однако отсутствующие в первом. Полученное произведение и будет общим знаменателем;
- Выяснить, каких множителей не хватает каждой из исходных дробей, чтобы знаменатели стали равны общему.
Возможно, этот алгоритм вам покажется просто текстом, в котором «много букв». Поэтому разберём всё на конкретном примере.
Задача. Упростите выражение:
\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]
Решение. Такие объёмные задачи лучше решать по частям. Выпишем то, что стоит в первой скобке:
\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2}\]
В отличие от предыдущей задачи, тут со знаменателями всё не так просто. Разложим на множители каждый из них.
Квадратный трёхчлен ${{x}^{2}}+2x+4$ на множители не раскладывается, поскольку уравнение ${{x}^{2}}+2x+4=0$ не имеет корней (дискриминант отрицательный). Оставляем его без изменений.
Второй знаменатель — кубический многочлен ${{x}^{3}}-8$ — при внимательном рассмотрении является разностью кубов и легко раскладывается по формулам сокращённого умножения:
\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)\]
Больше ничего разложить на множители нельзя, поскольку в первой скобке стоит линейный двучлен, а во второй — уже знакомая нам конструкция, которая не имеет действительных корней.
Наконец, третий знаменатель представляет собой линейный двучлен, который нельзя разложить. Таким образом, наше уравнение примет вид:
\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}\]
Совершенно очевидно, что общим знаменателем будет именно $\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)$, и для приведения к нему всех дробей необходимо первую дробь домножить на $\left(x-2 \right)$, а последнюю — на $\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)$. Затем останется лишь привести подобные:
\[\begin{matrix} \frac{x\cdot \left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1\cdot \left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{x\cdot \left(x-2 \right)+\left({{x}^{2}}+8 \right)-\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}. \\ \end{matrix}\]
Обратите внимание на вторую строчку: когда знаменатель уже общий, т.е. вместо трёх отдельных дробей мы написали одну большую, не стоит сразу избавляться от скобок. Лучше напишите лишнюю строчку и отметьте, что, скажем, перед третьей дробью стоял минус — и он никуда не денется, а будет «висеть» в числителе перед скобкой. Это избавит вас от множества ошибок.
Ну и в последней строчке полезно разложить на множители числитель. Тем более что это точный квадрат, и нам на помощь вновь приходят формулы сокращённого умножения. Имеем:
\[\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]
Теперь точно так же разберёмся со второй скобкой. Тут я просто напишу цепочку равенств:
\[\begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}= \\ =\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}+\frac{2}{x-2}= \\ =\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}+\frac{2\cdot \left(x+2 \right)}{\left(x-2 \right)\cdot \left(x+2 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}+2\cdot \left(x+2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}. \\ \end{matrix}\]
Возвращаемся к исходной задачи и смотрим на произведение:
\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]
Ответ: \[\frac{1}{x+2}\].
Смысл этой задачи такой же, как и у предыдущей: показать, насколько могут упрощаться рациональные выражения, если подойти к их преобразованию с умом.
И вот теперь, когда вы всё это знаете, давайте перейдём к основной теме сегодняшнего урока — решению дробно-рациональных неравенств. Тем более что после такой подготовки сами неравенства вы будете щёлкать как орешки.:)
Основной способ решения рациональных неравенств
Существует как минимум два подхода к решению рациональных неравенств. Сейчас мы рассмотрим один из них — тот, который является общепринятым в школьном курсе математики.
Но для начала отметим важную деталь. Все неравенства делятся на два типа:
- Строгие: $f\left(x \right) \gt 0$ или $f\left(x \right) \lt 0$;
- Нестрогие: $f\left(x \right)\ge 0$ или $f\left(x \right)\le 0$.
Неравенства второго типа легко сводятся к первому, а также уравнению:
Это небольшое «дополнение» $f\left(x \right)=0$ приводит к такой неприятной штуке как закрашенные точки — мы познакомились с ними ещё в методе интервалов. В остальном никаких отличий между строгими и нестрогими неравенствами нет, поэтому давайте разберём универсальный алгоритм:
- Собрать все ненулевые элементы с одной стороны от знака неравенства. Например, слева;
- Привести все дроби к общему знаменателю (если таких дробей окажется несколько), привести подобные. Затем по возможности разложить на числитель и знаменатель на множители. Так или иначе мы получим неравенство вида $\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)}\vee 0$, где «галочка» — знак неравенства.
- Приравниваем числитель к нулю: $P\left(x \right)=0$. Решаем это уравнение и получаем корни ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ... Затем требуем, чтобы знаменатель был не равен нулю: $Q\left(x \right)\ne 0$. Разумеется, по сути приходится решить уравнение $Q\left(x \right)=0$, и мы получим корни $x_{1}^{*}$, $x_{2}^{*}$, $x_{3}^{*}$, ... (в настоящих задачах таких корней вряд ли будет больше трёх).
- Отмечаем все эти корни (и со звёздочками, и без) на единой числовой прямой, причём корни без звёзд закрашены, а со звёздами — выколоты.
- Расставляем знаки «плюс» и «минус», выбираем те интервалы, которые нам нужны. Если неравенство имеет вид $f\left(x \right) \gt 0$, то в ответ пойдут интервалы, отмеченные «плюсом». Если $f\left(x \right) \lt 0$, то смотрим на интервалы с «минусами».
Практика показывает, что наибольшие трудности вызывают пункты 2 и 4 — грамотные преобразования и правильная расстановка чисел в порядке возрастания. Ну, и на последнем шаге будьте предельно внимательны: мы всегда расставляем знаки, опираясь на самое последнее неравенство, записанное перед переходом к уравнениям . Это универсальное правило, унаследованное ещё от метода интервалов.
Итак, схема есть. Давайте потренируемся.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x-3}{x+7} \lt 0\]
Решение. Перед нами строгое неравенство вида $f\left(x \right) \lt 0$. Очевидно, пункты 1 и 2 из нашей схемы уже выполнены: все элементы неравенства собраны слева, к общему знаменателю ничего приводить не надо. Поэтому переходим сразу к третьему пункту.
Приравниваем к нулю числитель:
\[\begin{align} & x-3=0; \\ & x=3. \end{align}\]
И знаменатель:
\[\begin{align} & x+7=0; \\ & {{x}^{*}}=-7. \\ \end{align}\]
В этом месте многие залипают, ведь по идее нужно записать $x+7\ne 0$, как того требует ОДЗ (на ноль делить нельзя, вот это вот всё). Но ведь в дальнейшем мы будем выкалывать точки, пришедшие из знаменателя, поэтому лишний раз усложнять свои выкладки не стоит — пишите везде знак равенства и не парьтесь. Никто за это баллы не снизит.:)
Четвёртый пункт. Отмечаем полученные корни на числовой прямой:
Все точки выколоты, поскольку неравенство — строгое
Обратите внимание: все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое . И тут уже неважно: из числителя эти точки пришли или из знаменателя.
Ну и смотрим знаки. Возьмём любое число ${{x}_{0}} \gt 3$. Например, ${{x}_{0}}=100$ (но с тем же успехом можно было взять ${{x}_{0}}=3,1$ или ${{x}_{0}}=1\ 000\ 000$). Получим:
Итак, справа от всех корней у нас положительная область. А при переходе через каждый корень знак меняется (так будет не всегда, но об это позже). Поэтому переходим к пятому пункту: расставляем знаки и выбираем нужное:
Возвращаемся к последнему неравенству, которое было перед решением уравнений. Собственно, оно совпадает с исходным, ведь никаких преобразований в этой задаче мы не выполняли.
Поскольку требуется решить неравенство вида $f\left(x \right) \lt 0$, я заштриховал интервал $x\in \left(-7;3 \right)$ — он единственный отмечен знаком «минус». Это и есть ответ.
Ответ: $x\in \left(-7;3 \right)$
Вот и всё! Разве сложно? Нет, не сложно. Правда, и задачка была лёгкая. Сейчас чуть усложним миссию и рассмотрим более «навороченное» неравенство. При его решении я уже не буду давать столь подробных выкладок — просто обозначу ключевые моменты. В общим, оформим его так, как оформляли бы на самостоятельной работе или экзамене.:)
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}\ge 0\]
Решение. Это нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\ge 0$. Все ненулевые элементы собраны слева, разных знаменателей нет. Переходим к уравнениям.
Числитель:
\[\begin{align} & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow {{x}_{1}}=-\frac{1}{7}; \\ & 11x+2=0\Rightarrow {{x}_{2}}=-\frac{2}{11}. \\ \end{align}\]
Знаменатель:
\[\begin{align} & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & {{x}^{*}}=\frac{4}{13}. \\ \end{align}\]
Не знаю, что за извращенец составлял эту задачу, но корни получились не очень: их будет трудно расставить на числовой прямой. И если с корнем ${{x}^{*}}={4}/{13}\;$ всё более-менее ясно (это единственное положительное число — оно будет справа), то ${{x}_{1}}=-{1}/{7}\;$ и ${{x}_{2}}=-{2}/{11}\;$ требуют дополнительного исследования: какое из них больше?
Выяснить это можно, например, так:
\[{{x}_{1}}=-\frac{1}{7}=-\frac{2}{14} \gt -\frac{2}{11}={{x}_{2}}\]
Надеюсь, не нужно объяснять, почему числовая дробь $-{2}/{14}\; \gt -{2}/{11}\;$? Если нужно, рекомендую вспомнить, как выполнять действия с дробями .
А мы отмечаем все три корня на числовой прямой:
Точки из числителя закрашены, из знаменателя — выколоты
Расставляем знаки. Например, можно взять ${{x}_{0}}=1$ и выяснить знак в этой точке:
\[\begin{align} & f\left(x \right)=\frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}; \\ & f\left(1 \right)=\frac{\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right)}{13\cdot 1-4}=\frac{8\cdot 13}{9} \gt 0. \\\end{align}\]
Последним неравенством перед уравнениями было $f\left(x \right)\ge 0$, поэтому нас интересует знак «плюс».
Получили два множества: один — обычный отрезок, а другой — открытый луч на числовой прямой.
Ответ: $x\in \left[ -\frac{2}{11};-\frac{1}{7} \right]\bigcup \left(\frac{4}{13};+\infty \right)$
Важное замечание по поводу чисел, которые мы подставляем для выяснения знака на самом правом интервале. Совершенно необязательно подставлять число, близкое к самому правому корню. Можно брать миллиарды или даже «плюс-бесконечность» — в этом случае знак многочлена стоящего в скобке, числителе или знаменателе, определяется исключительно знаком старшего коэффициента.
Давайте ещё раз посмотрим на функцию $f\left(x \right)$ из последнего неравенства:
В её записи присутствуют три многочлена:
\[\begin{align} & {{P}_{1}}\left(x \right)=7x+1; \\ & {{P}_{2}}\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end{align}\]
Все они являются линейными двучленами, и у всех старшие коэффициенты (числа 7, 11 и 13) положительны. Следовательно, при подстановке очень больших чисел сами многочлены тоже будут положительны.:)
Это правило может показаться чрезмерно сложным, но только поначалу, когда мы разбираем совсем лёгкие задачи. В серьёзных неравенствах подстановка «плюс-бесконечности» позволит нам выяснить знаки намного быстрее, нежели стандартное ${{x}_{0}}=100$.
Мы очень скоро столкнёмся с такими задачами. Но сначала разберём альтернативный способ решения дробно-рациональных неравенств.
Альтернативный способ
Этот приём мне подсказала одна из моих учениц. Сам я никогда им не пользовался, однако практика показала, что многим ученикам действительно удобнее решать неравенства именно таким способом.
Итак, исходные данные те же. Нужно решить дробно-рациональное неравенство:
\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)} \gt 0\]
Давайте подумаем: чем многочлен $Q\left(x \right)$ «хуже» многочлена $P\left(x \right)$? Из-за чего нам приходится рассматривать отдельные группы корней (со звёздочкой и без), думать о выколотых точках и т.д.? Всё просто: у дроби есть область определения, согласной которой дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель отличен от нуля.
В остальном никаких отличий между числителем и знаменателем не прослеживается: мы так же приравниваем его к нулю, ищем корни, затем отмечаем их на числовой прямой. Так почему бы не заменить дробную черту (фактически — знак деления) обычным умножением, а все требования ОДЗ прописать в виде отдельного неравенства? Например, так:
\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)} \gt 0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & P\left(x \right)\cdot Q\left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Обратите внимание: такой подход позволит свести задачу к методу интервалов, но при этом нисколько не усложнит решение. Ведь всё равно мы будем приравнивать многочлен $Q\left(x \right)$ к нулю.
Давайте посмотрим, как это работает на реальных задачах.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x+8}{x-11} \gt 0\]
Решение. Итак, переходим к методу интервалов:
\[\frac{x+8}{x-11} \gt 0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0, \\ & x-11\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Первое неравенство решается элементарно. Просто приравниваем каждую скобку к нулю:
\[\begin{align} & x+8=0\Rightarrow {{x}_{1}}=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow {{x}_{2}}=11. \\ \end{align}\]
Со вторым неравенством тоже всё просто:
Отмечаем точки ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ на числовой прямой. Все они выколоты, поскольку неравенство строгое:
Правая точка оказалась выколотой дважды. Это нормально.Обратите внимание на точку $x=11$. Получается, что она «дважды выколота»: с одной стороны, мы выкалываем её из-за строгости неравенства, с другой — из-за дополнительного требования ОДЗ.
В любом случае, это будет просто выколотая точка. Поэтому расставляем знаки для неравенства $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ — последнего, которое мы видели перед тем, как начали решать уравнения:
Нас интересуют положительные области, поскольку мы решаем неравенство вида $f\left(x \right) \gt 0$ — их и закрасим. Осталось лишь записать ответ.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$
На примере этого решения хотел бы предостеречь вас от распространённой ошибки среди начинающих учеников. А именно: никогда не раскрывайте скобки в неравенствах! Наоборот, старайтесь всё разложить на множители — это упростит решение и избавит вас от множества проблем.
Теперь попробуем кое-что посложнее.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)}{15x+33}\le 0\]
Решение. Это нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\le 0$, поэтому здесь нужно внимательно следить за закрашенными точками.
Переходим к методу интервалов:
\[\left\{ \begin{align} & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Переходим к уравнению:
\[\begin{align} & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow {{x}_{1}}=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow {{x}_{2}}=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow {{x}_{3}}=-2,2. \\ \end{align}\]
Учитываем дополнительное требование:
Отмечаем все полученные корни на числовой прямой:
Если точка одновременно и выколота, и закрашена, она считается выколотойОпять две точки «накладываются» друг на друга — это нормально, так будет всегда. Важно лишь понимать, что точка, отмеченная одновременно выколотой и закрашенной, на самом деле является выколотой. Т.е. «выкалывание» — более сильное действие, чем «закрашивание».
Это абсолютно логично, ведь выкалыванием мы отмечаем точки, которые влияют на знак функции, но сами не участвуют в ответе. И если в какой-то момент число перестаёт нас устраивать (например, не попадает в ОДЗ), мы вычёркиваем его из рассмотрения до самого конца задачи.
В общем, хватит философствовать. Расставляем знаки и закрашиваем те интервалы, которые отмечены знаком «минус»:
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.
И снова хотел обратить ваше внимание вот на это уравнение:
\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]
Ещё раз: никогда не раскрывайте скобки в таких уравнениях! Вы только усложните себе задачу. Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение просто «разваливается» на несколько более мелких, которые мы и решали в предыдущей задаче.
Учёт кратности корней
Из предыдущих задач легко заметить, что наибольшую сложность представляют именно нестрогие неравенства, потому как в них приходится следить за закрашенными точками.
Но в мире есть ещё большее зло — это кратные корни в неравенствах. Тут уже приходится следить не за какими-то там закрашенными точками — тут знак неравенства может внезапно не поменяться при переходе через эти самые точки.
Ничего подобного мы в этом уроке ещё не рассматривали (хотя аналогичная проблема часто встречалась в методе интервалов). Поэтому введём новое определение:
Определение. Корень уравнения ${{\left(x-a \right)}^{n}}=0$ равен $x=a$ и называется корнем $n$-й кратности.
Собственно, нас не особо интересует точное значение кратности. Важно лишь то, чётным или нечётным является это самое число $n$. Потому что:
- Если $x=a$ — корень чётной кратности, то знак функции при переходе через него не меняется;
- И наоборот, если $x=a$ — корень нечётной кратности, то знак функции поменяется.
Частным случаем корня нечётной кратности являются все предыдущие задачи, рассмотренные в этом уроке: там везде кратность равна единице.
И ещё. Перед тем, как мы начнём решать задачи, хотел бы обратить ваше внимание на одну тонкость, которая покажется очевидной для опытного ученика, но вгоняет в ступор многих начинающих. А именно:
Корень кратности $n$ возникает только в том случае, когда в эту степень возводится всё выражение: ${{\left(x-a \right)}^{n}}$, а никак не $\left({{x}^{n}}-a \right)$.
Ещё раз: скобка ${{\left(x-a \right)}^{n}}$ даёт нам корень $x=a$ кратности $n$, а вот скобка $\left({{x}^{n}}-a \right)$ или, как часто бывает, $(a-{{x}^{n}})$ даёт нам корень (или два корня, если $n$ — чётное) первой кратности вне зависимости от того, чему равно $n$.
Сравните:
\[{{\left(x-3 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]
Здесь всё чётко: вся скобка возводилась в пятую степень, поэтому на выходе мы получили корень пятой степени. А теперь:
\[\left({{x}^{2}}-4 \right)=0\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=\pm 2\]
Мы получили два корня, но оба они имеют первую кратность. Или вот ещё:
\[\left({{x}^{10}}-1024 \right)=0\Rightarrow {{x}^{10}}=1024\Rightarrow x=\pm 2\]
И пусть вас не смущает десятая степень. Главное, что 10 — это чётное число, поэтому на выходе имеем два корня, и оба они вновь имеют первую кратность.
В общем будьте внимательны: кратность возникает только тогда, когда степень относится ко всей скобке, а не только к переменной .
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{{{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)}{{{\left(x+7 \right)}^{5}}}\ge 0\]
Решение. Попробуем решить её альтернативным способом — через переход от частного к произведению:
\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)\cdot {{\left(x+7 \right)}^{5}}\ge 0, \\ & {{\left(x+7 \right)}^{5}}\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Разбираемся с первым неравенством методом интервалов:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)\cdot {{\left(x+7 \right)}^{5}}=0; \\ & {{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & {{\left(6-x \right)}^{3}}=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & {{\left(x+7 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end{align}\]
Дополнительно решаем второе неравенство. На самом деле мы уже решали его, но чтобы проверяющие не придрались к решению, лучше решить его ещё раз:
\[{{\left(x+7 \right)}^{5}}\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]
Обратите внимание: никаких кратностей в последнем неравенстве нет. В самом деле: какая разница, сколько раз вычёркивать точку $x=-7$ на числовой прямой? Хоть один раз, хоть пять — результат будет один и тот же: выколотая точка.
Отметим всё, что мы получили, на числовой прямой:
Как я и говорил, точка $x=-7$ в итоге будет выколота. Кратности расставлены исходя из решения неравенства методом интервалов.
Осталось расставить знаки:
Поскольку точка $x=0$ является корнем чётной кратности, знак при переходе через неё не меняется. Остальные точки имеют нечётную кратность, и с ними всё просто.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$
Ещё раз обратите внимание на $x=0$. Из-за чётной кратности возникает интересный эффект: слева от неё всё закрашено, справа — тоже, да и сама точка вполне себе закрашена.
Как следствие, её не нужно обособлять при записи ответа. Т.е. не надо писать что-нибудь в духе $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (хотя формально такой ответ тоже будет правильным). Вместо этого сразу пишем $x\in \left[ -4;6 \right]$.
Такие эффекты возможны только при корнях чётной кратности. И в следующей задаче мы столкнёмся с обратным «проявлением» этого эффекта. Готовы?
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{{{\left(x-3 \right)}^{4}}\left(x-4 \right)}{{{\left(x-1 \right)}^{2}}\left(7x-10-{{x}^{2}} \right)}\ge 0\]
Решение. В этот раз пойдём по стандартной схеме. Приравниваем к нулю числитель:
\[\begin{align} & {{\left(x-3 \right)}^{4}}\left(x-4 \right)=0; \\ & {{\left(x-3 \right)}^{4}}=0\Rightarrow {{x}_{1}}=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow {{x}_{2}}=4. \\ \end{align}\]
И знаменатель:
\[\begin{align} & {{\left(x-1 \right)}^{2}}\left(7x-10-{{x}^{2}} \right)=0; \\ & {{\left(x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x_{1}^{*}=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-{{x}^{2}}=0\Rightarrow x_{2}^{*}=5;\ x_{3}^{*}=2. \\ \end{align}\]
Поскольку мы решаем нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\ge 0$, корни из знаменателя (которые со звёздочками) будут выколоты, а из числителя — закрашены.
Расставляем знаки и штрихуем области, отмеченные «плюсом»:
Точка $x=3$ — изолированная. Это часть ответа
Перед тем, как записать окончательный ответ, внимательно посмотрим на картинку:
- Точка $x=1$ имеет чётную кратность, но сама выколота. Следовательно, её придётся обособить в ответе: нужно записать $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а никак не $x\in \left(-\infty ;2 \right)$.
- Точка $x=3$ тоже имеет чётную кратность и при этом закрашена. Расстановка знаков свидетельствует, что сама точка нас устраивает, но шаг влево-вправо — и мы попадаем в область, которая нас точно не устраивает. Такие точки называются изолированными и записываются в виде $x\in \left\{ 3 \right\}$.
Объединяем все полученные кусочки в общее множество и записываем ответ.
Ответ: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\{ 3 \right\}\bigcup \left[ 4;5 \right)$
Определение. Решить неравенство — значит найти множество всех его решений , либо доказать, что это множество пусто.
Казалось бы: что тут может быть непонятны? Да в том-то и дело, что множества можно задавать по-разному. Давайте ещё раз выпишем ответ к последней задаче:
Читаем буквально, что написано. Переменная «икс» принадлежит некому множеству, которое получается объединением (значок «U») четырёх отдельных множеств:
- Интервал $\left(-\infty ;1 \right)$, который буквально означает «все числа, меньшие единицы, но не сама единица»;
- Интервал $\left(1;2 \right)$, т.е. «все числа в пределах от 1 до 2, но не сами числа 1 и 2»;
- Множество $\left\{ 3 \right\}$, состоящее из одного-единственного числа — тройки;
- Интервал $\left[ 4;5 \right)$, содержащий все числа в пределах от 4 до 5, а также саму четвёрку, но не пятёрку.
Интерес здесь представляет третий пункт. В отличие от интервалов, которые задают бесконечные наборы чисел и лишь обозначают лишь границы этих наборов, множество $\left\{ 3 \right\}$ задаёт строго одно число путём перечисления.
Чтобы понять, что мы именно перечисляем конкретные числа, входящие в множество (а не задаём границы или что-либо ещё), используются фигурные скобки. Например, запись $\left\{ 1;2 \right\}$ означает именно «множество, состоящее из двух чисел: 1 и 2», но никак не отрезок от 1 до 2. Ни в коем случае не путайте эти понятия.
Правило сложения кратностей
Ну и в заключение сегодняшнего урока немного жести от Павла Бердова.:)
Внимательные ученики уже наверняка задались вопросом: а что будет, если в числителе и знаменателе обнаружатся одинаковые корни? Так вот, работает следующее правило:
Кратности одинаковых корней складываются. Всегда. Даже если этот корень встречается и в числителе, и в знаменателе.
Иногда лучше решать, чем говорить. Поэтому решаем следующую задачу:
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{{{x}^{2}}+6x+8}{\left({{x}^{2}}-16 \right)\left({{x}^{2}}+9x+14 \right)}\ge 0\]
\[\begin{align} & {{x}^{2}}+6x+8=0 \\ & {{x}_{1}}=-2;\ {{x}_{2}}=-4. \\ \end{align}\]
Пока ничего особенного. Приравниваем к нулю знаменатель:
\[\begin{align} & \left({{x}^{2}}-16 \right)\left({{x}^{2}}+9x+14 \right)=0 \\ & {{x}^{2}}-16=0\Rightarrow x_{1}^{*}=4;\ x_{2}^{*}=-4; \\ & {{x}^{2}}+9x+14=0\Rightarrow x_{3}^{*}=-7;\ x_{4}^{*}=-2. \\ \end{align}\]
Обнаружены два одинаковых корня: ${{x}_{1}}=-2$ и $x_{4}^{*}=-2$. Оба имеют первую кратность. Следовательно заменяем их одним корнем $x_{4}^{*}=-2$, но уже с кратностью 1+1=2.
Кроме того, есть ещё одинаковые корни: ${{x}_{2}}=-4$ и $x_{2}^{*}=-4$. Они тоже первой кратности, поэтому останется лишь $x_{2}^{*}=-4$ кратности 1+1=2.
Обратите внимание: в обоих случаях мы оставили именно «выколотый» корень, а «закрашенный» выкинули из рассмотрения. Потому что ещё в начале урока договорились: если точка одновременно и выколотая, и закрашенная, то мы всё равно считаем её выколотой.
В итоге у нас есть четыре корня, причём все оказались выколоты:
\[\begin{align} & x_{1}^{*}=4; \\ & x_{2}^{*}=-4\left(2k \right); \\ & x_{3}^{*}=-7; \\ & x_{4}^{*}=-2\left(2k \right). \\ \end{align}\]
Отмечаем их на числовой прямой с учётом кратности:
Расставляем знаки и закрашиваем интересующие нас области:
Всё. Никаких изолированных точек и прочих извращений. Можно записывать ответ.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.
Правило умножения кратностей
Иногда встречается ещё более неприятная ситуация: уравнение, имеющее кратные корни, само возводится в некоторую степень. При этом меняются кратности всех исходных корней.
Такое встречается редко, поэтому большинство учеников не имеют опыта решения подобных задач. А правило здесь следующее:
При возведении уравнения в степень $n$ кратности всех его корней тоже увеличиваются в $n$ раз.
Другими словами, возведение в степень приводит к умножению кратностей на эту же степень. Рассмотрим это правило на примере:
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x{{\left({{x}^{2}}-6x+9 \right)}^{2}}{{\left(x-4 \right)}^{5}}}{{{\left(2-x \right)}^{3}}{{\left(x-1 \right)}^{2}}}\le 0\]
Решение. Приравниваем к нулю числитель:
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. С первым множителем всё понятно: $x=0$. А вот дальше начинаются проблемы:
\[\begin{align} & {{\left({{x}^{2}}-6x+9 \right)}^{2}}=0; \\ & {{x}^{2}}-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D={{6}^{3}}-4\cdot 9=0 \\ & {{x}_{2}}=3\left(2k \right)\left(2k \right) \\ & {{x}_{2}}=3\left(4k \right) \\ \end{align}\]
Как видим, уравнение ${{x}^{2}}-6x+9=0$ имеет единственный корень второй кратности: $x=3$. Затем всё это уравнение возводится в квадрат. Следовательно, кратность корня составит $2\cdot 2=4$, что мы в итоге и записали.
\[{{\left(x-4 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]
Со знаменателем тоже никаких проблем:
\[\begin{align} & {{\left(2-x \right)}^{3}}{{\left(x-1 \right)}^{2}}=0; \\ & {{\left(2-x \right)}^{3}}=0\Rightarrow x_{1}^{*}=2\left(3k \right); \\ & {{\left(x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x_{2}^{*}=1\left(2k \right). \\ \end{align}\]
В сумме у нас получилось пять точек: две выколотых и три закрашенных. Совпадающих корней в числителе и знаменателе не наблюдается, поэтому просто отмечаем их на числовой прямой:
Расставляем знаки с учётом кратностей и закрашиваем интересующие нас интервалы:
Снова одна изолированная точка и одна выколотая
Из-за корней чётной кратности вновь получили парочку «нестандартных» элементов. Это $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а никак не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а также изолированная точка $x\in \left\{ 3 \right\}$.
Ответ. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\{ 3 \right\}\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Как видите, всё не так сложно. Главное — внимательность. Последний раздел этого урока посвящён преобразованиям — тем самым, которые мы обсуждали в самом начале.
Предварительные преобразования
Неравенства, которые мы разберём в этом разделе, нельзя назвать сложными. Однако в отличие от предыдущих задач здесь придётся применить навыки из теории рациональных дробей — разложение на множители и приведение к общему знаменателю.
Мы детально обсуждали этот вопрос в самом начале сегодняшнего урока. Если вы не уверены, что понимаете, о чём речь — настоятельно рекомендую вернуться и повторить. Потому что нет никакого смысла зубрить методы решения неравенств, если вы «плаваете» в преобразовании дробей.
В домашней работе, кстати, тоже будет много подобных задач. Они вынесены в отдельный подраздел. И там вас ждут весьма нетривиальные примеры. Но это будет в домашке, а сейчас давайте разберём парочку таких неравенств.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x}{x-1}\le \frac{x-2}{x}\]
Решение. Переносим всё влево:
\[\frac{x}{x-1}-\frac{x-2}{x}\le 0\]
Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые в числителе:
\[\begin{align} & \frac{x\cdot x}{\left(x-1 \right)\cdot x}-\frac{\left(x-2 \right)\left(x-1 \right)}{x\cdot \left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-\left({{x}^{2}}-2x-x+2 \right)}{x\left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+3x-2}{x\left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{3x-2}{x\left(x-1 \right)}\le 0. \\\end{align}\]
Теперь перед нами классическое дробно-рациональное неравенство, решение которого уже не представляет трудности. Предлагаю решить его альтернативным методом — через метод интервалов:
\[\begin{align} & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=\frac{2}{3};\ {{x}_{2}}=0;\ {{x}_{3}}=1. \\ \end{align}\]
Не забываем ограничение, пришедшее из знаменателя:
Отмечаем все числа и ограничения на числовой прямой:
Все корни имеют первую кратность. Никаких проблем. Просто расставляем знаки и закрашиваем нужные нам области:
Это всё. Можно записывать ответ.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ {2}/{3}\;;1 \right)$.
Разумеется, это был совсем уж просто пример. Поэтому сейчас рассмотрим задачу посерьёзнее. И кстати, уровень этой задачи вполне соответствует самостоятельным и контрольным работам по этой теме в 8 классе.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}\ge \frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}\]
Решение. Переносим всё влево:
\[\frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}-\frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}\ge 0\]
Перед тем как приводить обе дроби к общему знаменателю, разложим эти знаменатели на множители. Вдруг вылезут одинаковы скобки? С первым знаменателем легко:
\[{{x}^{2}}+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]
Со вторым чуть сложнее. Не стесняйтесь вносить множитель-константу в ту скобку, где обнаружилась дробь. Помните: исходный многочлен имел целые коэффициенты, поэтому велика вероятность, что и разложение на множители будет иметь целые коэффициенты (на самом деле так будет всегда, за исключением случаев, когда дискриминант иррационален).
\[\begin{align} & 3{{x}^{2}}-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac{2}{3} \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end{align}\]
Как видим, есть общая скобка: $\left(x-1 \right)$. Возвращаемся к неравенству и приводим обе дроби к общему знаменателю:
\[\begin{align} & \frac{1}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)}-\frac{1}{\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right)}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{3x-2-x-9}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{2x-11}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ \end{align}\]
Приравниваем к нулю знаменатель:
\[\begin{align} & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_{1}^{*}=1;\ x_{2}^{*}=-9;\ x_{3}^{*}=\frac{2}{3} \\ \end{align}\]
Никаких кратностей и совпадающих корней. Отмечаем четыре числа на прямой:
Расставляем знаки:
Записываем ответ.
Ответ: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left({2}/{3}\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \right)$.
При решении линейных неравенств есть только одна большая фишка: необходимо менять знак неравенства при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число. Менять знак неравенства значит изменять знак "меньше" на знак "больше" или наоборот. При этом знаки плюс на минус в обход ранее изученных математических правил нигде менять не надо. Если мы делим или умножаем неравенство на положительное число знак неравенства менять не нужно. В остальном решение линейных неравенств полностью идентично решению линейных уравнений.
В линейных и в любых других рациональных неравенствах ни в коем случае нельзя домножать или делить левую или правую части неравенства на выражения, содержащие переменную (кроме случаев, когда данное выражение положительно либо отрицательно на всей числовой оси, в этом случае при делении на всегда отрицательное выражение знак неравенства нужно поменять, а при делении на всегда положительное выражение знак неравенства нужно сохранить).
Решение неравенств вида:
Проводится с помощью метода интервалов , который состоит в следующем:
- Изображаем координатную прямую, на которую наносим все числа a i . Эти числа, расположенные в порядке возрастания, разобьют координатную прямую на (n +1) промежутков знакопостоянства функции f (x ).
- Таким образом, определив знак f (x ) в любой точке каждого промежутка (обычно эта точка выбирается из удобства арифметических действий), определяем знак функции на каждом промежутке. Главное при этом не подставлять в функцию сами границы промежутков.
- Выписываем в ответ все те промежутки, знак функции на которых соответствуют основному условию неравенства.
Нужно также отметить, что не обязательно исследовать знак функции на каждом промежутке подстановкой некоторого значения из этого промежутка. Достаточно определить таким образом знак функции только на одном промежутке (обычно на крайнем правом), а затем двигаясь от этого промежутка влево вдоль числовой оси можно чередовать знаки промежутков по принципу:
- Если скобка из которой взялось число через которое мы переходим стоит в нечетной меняется .
- А если соответствующая скобка стоит в четной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства не меняется .
При этом нужно учитывать еще и следующие замечания:
- В строгих неравенствах (знаки "меньше" или "больше") границы промежутков никогда не входят в ответ, а на числовой оси они изображаются выколотыми точками.
- В нестрогих неравенствах (знаки "меньше либо равно" или "больше либо равно") те границы промежутков, которые взяты из числителя всегда входят в ответ и изображаются закрашенными точками (так как в этих точках функция действительно обращается в ноль, что удовлетворяет условию).
- А вот границы взятые из знаменателя в нестрогих неравенствах всегда изображаются выколотыми точками и в ответ никогда не входят (так как в этих точках в ноль обращается знаменатель, что недопустимо).
- Во всех неравенствах если одна и та же скобка есть и в числителе и в знаменателе, то сокращать на эту скобку нельзя. Нужно изобразить соответствующую ей точку выколотой на оси, и не забыть исключить из ответа. При этом при чередовании знаков промежутков, проходя через эту точку знак менять не нужно.
Итак еще раз самое важное: при записи окончательного ответа в неравенствах не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (это корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.
При решении рациональных неравенств более сложного вида чем указан выше, необходимо сначала алгебраическими преобразованиями свести их именно к такому виду, а затем применить метод интервалов с учетом всех уже описанных тонкостей. Таким образом, можно предложить следующий алгоритм для решения рациональных неравенств :
- Все слагаемые, дроби и другие выражения необходимо перенести в левую часть неравенства.
- При необходимости привести дроби к общему знаменателю.
- Разложить числитель и знаменатель полученной дроби на множители.
- Решить полученное неравенство методом интервалов.
При этом при решении рациональных неравенств не допускается :
- Перемножать дроби «крест-накрест».
- Как и в уравнениях, нельзя сокращать множители с переменной с обеих сторон неравенства. Если такие множители есть, то после переноса всех выражений в левую часть неравенства их нужно вынести за скобки, а затем учесть те точки которые они дадут после окончательного разложения полученного выражения на множители.
- Отдельно рассматривать числитель и знаменатель дроби.
Как и в остальных темах по математике, при решении рациональных неравенств можно применять метод замены переменной . Главное не забывать, что после введения замены, новое выражение должно стать проще и не содержать старой переменной. Кроме того, нужно не забывать выполнять обратную замену.
При решении систем рациональных неравенств нужно по очереди решить все неравенства входящие в систему. Система требует выполнения двух и более условий, причем мы ищем те значения неизвестной величины, которые удовлетворяют сразу всем условиям. Поэтому, в ответе системы неравенств нужно указать общие части всех решений отдельных неравенств (или общие части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).
При решении совокупностей рациональных неравенств также по очереди решают каждое из неравенств. Совокупность требует нахождения всех значений переменной, удовлетворяющих хотя бы одному из условий. То есть любому из условий, нескольким условиям или всем условиям вместе. В ответе совокупности неравенств указывают все части всех решений отдельных неравенств (или все части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).
Решение некоторых типов неравенств с модулями
Неравенства с модулями можно и нужно решать последовательно раскрывая модули на промежутках их знакопостоянства. Таким образом, нужно поступать примерно также как при решении уравнений с модулями (об этом ниже). Но есть несколько относительно простых случаев в которых решение неравенства с модулем сводится к более простому алгоритму. Так например, решение неравенства вида:
Сводится к решению системы :
В частности неравенство:
системой :
Ну а если в аналогичном неравенстве заменить знак "меньше" на "больше":
То его решение сводится уже к решению совокупности :
В частности неравенство:
Может быть заменено равносильной совокупностью :
Таким образом, необходимо запомнить, что для неравенства "модуль меньше" мы получаем систему, где должны одновременно выполняться оба условия, а для неравенства "модуль больше" мы получаем совокупность, в которой должно выполняться любое из условий.
При решении рациональных неравенств с модулем вида:
Целесообразно переходить к следующему равносильному рациональному неравенству без модуля:
Такое неравенство нельзя решать извлечением корня (если по-честному извлекать корень, то снова нужно поставить модули, и Вы вернетесь к началу, если про модули забыть, это равносильно тому, чтобы в самом начале про них просто забыть, а это, конечно, ошибка). Все скобки нужно перенести налево и, ни в коем случае не раскрывая скобки, применить формулу разности квадратов.
Еще раз повторимся, что для решения всех других типов неравенств с модулями кроме указанных выше нужно раскрывать все модули входящие в неравенство на промежутках их знакопостоянства и решать полученные неравенства. Напомним подробнее общий смысл этого алгоритма:
- Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
- Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение переменной из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения переменной, которые легко подставлять.
- Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном неравенстве в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное рациональное неравенство с учетом всех правил и тонкостей решения обычных неравенств без модулей.
- Решение каждого из неравенств полученных на конкретном промежутке объединяем в систему с самим промежутком, а все такие системы объединяем в совокупность. Таким образом из решений всех неравенств выбираем только те части которые вошли в промежуток, на котором было получено данное неравенство, и записываем все эти части в итоговый ответ.
Метод интервалов - это универсальный способ решения практически любых неравенств, которые встречаются в школьном курсе алгебры. Он основан на следующих свойствах функций:
1. Непрерывная функция g(x) может изменить знак только в той точке, в которой она равна 0. Графически это означает, что график непрерывной функции может перейти из одной полуплоскости в другую, только если пересечет ось абсцисс (мы помним, что ордината любой точки, лежащей на оси ОХ (оси абсцисс) равна нулю, то есть значение функции в этой точке равно 0):
Мы видим, что функция y=g(x), изображенная на графике пересекает ось ОХ в точках х= -8, х=-2, х=4, х=8. Эти точки называются нулями функции. И в этих же точках функция g(x) меняет знак.
2. Функция также может менять знак в нулях знаменателя - простейший пример хорошо известная функция :
Мы видим, что функция меняет знак в корне знаменателя, в точке , но при этом не обращается в ноль ни в одной точке. Таким образом, если функция содержит дробь, она может менять знак в корнях знаменателя.
2. Однако, функция не всегда меняет знак в корне числителя или в корне знаменателя. Например, функция y=x 2 не меняет знак в точке х=0:
Т.к. уравнение x 2 =0 имеет два равных корня х=0, в точке х=0 функция как бы дважды обращается в 0. Такой корень называется корнем второй кратности.
Функция
меняет знак в нуле числителя,
, но не меняет знак в нуле знаменателя:
, так как корень
- корень второй кратности, то есть четной кратности:
Важно! В корнях четной кратности функция знак не меняет.
Обратите внимание! Любое нелинейное неравенство школьного курса алгебры, как правило, решается с помощью метода интервалов.
Предлагаю вам подробный , следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств .
1. Для начала необходимо привести неравенство к виду
Р(х)V0,
где V- знак неравенства: <,>,≤ или ≥. Для этого необходимо:
а) перенести все слагаемые в левую часть неравенства,
б) найти корни получившегося выражения,
в) разложить левую часть неравенства на множители
г) одинаковые множители записать в виде степени.
Внимание! Последнее действие необходимо сделать, чтобы не ошибиться с кратностью корней - если в результате получится множитель в четной степени, значит, соответствующий корень имеет четную кратность.
2. Нанести найденные корни на числовую ось.
3. Если неравенство строгое, то кружки, обозначающие корни на числовой оси оставляем "пустыми", если неравенство нестрогое, то кружки закрашиваем.
4. Выделяем корни четной кратности - в них Р(х) знак не меняет.
5. Определяем знак Р(х) на самом правом промежутке. Для этого берем произвольное значение х 0 , которое больше большего корня и подставляем в Р(х) .
Если P(x 0)>0 (или ≥0), то в самом правом промежутке ставим знак "+".
Если P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
При переходе через точку, обозначающую корень четной кратности знак НЕ МЕНЯЕТСЯ.
7. Еще раз смотрим на знак исходного неравенства, и выделяем промежутки нужного нам знака.
8. Внимание! Если наше неравенство НЕСТРОГОЕ, то условие равенства нулю проверяем отдельно.
9. Записываем ответ.
Если исходное неравенство содержит неизвестное в знаменателе , то также переносим все слагаемых влево, и приводим левую часть неравенства к виду
(где V- знак неравенства: < или >)
Строгое неравенство такого вида равносильно неравенству
НЕстрогое неравенство вида
равносильно системе :
На практике, если функция имеет вид , то поступаем следующим образом:
- Находим корни числителя и знаменателя.
- Наносим их на ось. Все кружки оставляем пустыми. Затем, если неравенство не строгое, то корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя всегда оставляем пустыми.
- Далее следуем общему алгоритму:
- Выделяем корни четной кратности (если числитель и знаменатель содержат одинаковые корни, то считаем, сколько раз встречаются одинаковые корни). В корнях четной кратности смены знака не происходит.
- Выясняем знак на самом правом промежутке.
- Расставляем знаки.
- В случае нестрого неравенства условие равенства условие равенства нулю проверяем отдельно.
- Выделяем нужные промежутки и отдельно стоящие корни.
- Записываем ответ.
Чтобы лучше понять алгоритм решения неравенств методом интервалов , посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором подробно разбирается пример решения неравенства методом интервалов .
