Диффузионный поток вещества i и тепловой поток q возникают в результате наличия в жидкости градиентов концентрации и температуры. Не следует при этом думать, что i зависит только от градиента концентрации, a q - только от градиента температуры. Напротив, каждый из этих потоков зависит, вообще говоря, от обоих указанных градиентов.
Если градиенты температуры и концентрации невелики, то можно считать, что i и q являются линейными функциями от (от градиента давления - при заданных - потоки q и i не зависят по той же причине, которая была уже указана для q в § 49). Соответственно этому напишем i и q в виде линейных функций от градиентов
Между коэффициентами существует простое соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов. Содержание этого общего принципа заключается в следующем (см. V § 120). Рассмотрим какую-нибудь замкнутую систему и пусть - некоторые величины, характеризующие состояние системы. Их равновесные значения определяются тем, что в статистическом равновесии энтропия 5 всей системы должна иметь максимум, т. е. должно быть где обозначают производные:
Предположим, что система находится в состоянии, близком к равновесному. Это значит, что все лишь мало отличаются от своих равновесных значений, а величины малы. В системе будут происходить процессы, стремящиеся привести ее в состояние равновесия. Величины являются при этом функциями времени, а скорость их изменения определяется производными по времени представим последние в виде функций от и разложим эти функции в ряд.
С точностью до членов первого порядка имеем:
Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера утверждает, что величины (называемые кинетическими коэффициентами) симметричны по индексам а, b:
Скорость изменения энтропии равна
Пусть теперь сами величины различны в разных точках тела, т. е. каждый элемент объема тела должен характеризоваться своими значениями величин Другими словами, будем рассматривать как функции от координат. Тогда в выражении для , кроме суммирования по а, надо произвести также и интегрирование по всему объему системы, т. е.
Что касается зависимости между то обычно можно утверждать, что значения в каждой данной точке системы зависят только от значений величин в этой же точке. Если это условие выполняется, то можно писать связь между для каждой точки в системе, и мы возвращаемся к прежним соотношениям.
В данном случае выберем в качестве величин компоненты векторов i и Тогда из сравнения (58,7) с (59,4) видно, что роль величин будут играть соответственно компоненты векторов Кинетическими же коэффициентами будут являться коэффициенты при этих векторах в равенствах
В силу симметрии кинетических коэффициентов должно быть т. е.
Это и есть искомое соотношение. Мы можем поэтому написать потоки i и q в виде
всего с тремя независимыми коэффициентами: . В выражении для теплового потока удобно исключить градиент выразив его через i и
Сделав это, получим;
где введено обозначение
Если поток вещества i отсутствует, то говорят о чистой теплопроводности. Для того чтобы было должны удовлетворять уравнению или
Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению вида не содержащему в явном виде координат (химический потенциал является функцией не только от с, Т, но и от давления; в равновесии, однако, давление постоянно вдоль тела, и потому мы полагаем ). Это соотношение определяет связь между концентрацией и температурой, которая должна иметь место для отсутствия потока вещества. Далее, при имеем из таким образом, и является не чем иным, как теплопроводностью.
Перейдем теперь к обычным переменным , Т и с. Имеем:
Последний член можно преобразовать, используя термодинамическое соотношение
где - термодинамический потенциал единицы массы, У - удельный объем. Имеем:
Подставив в (59,6) и введя обозначения
получим следующие выражения:
(59,11)
Коэффициент D называют коэффициентом диффузии; он определяет диффузионный поток при наличии одного только градиента концентрации.
Диффузионный же поток, вызываемый градиентом температуры, определяется коэффициентом термодиффузии (безразмерную же величину называют термодиффузионным отношением). В учете последнего члена в (59,11) может возникнуть необходимость лишь при наличии в жидкости существенного градиента давления, вызванного, например, внешним полем. Величину можно назвать коэффициентом бародиффузии-, мы вернемся еще к этой величине в конце параграфа.
В чистой жидкости диффузионный поток, разумеется, отсутствует. Поэтому ясно, что коэффициенты должны обращаться в нуль на обоих пределах: с
Условие возрастания энтропии накладывает определенные ограничения на коэффициенты в формулах (59,6). Подставив эти формулы в выражение (58,7) для скорости изменения энтропии, получим:
Отсюда видно, что наряду с известным уже нам условием должно выполняться также условие Имея в виду, что согласно одному из термодинамических неравенств всегда
(см. V, § 96), мы находим, что должен быть положителен коэффициент диффузии: Величины же могут быть как положительными, так и отрицательными.
Мы не станем выписывать громоздких общих уравнений, получающихся при подстановке полученных здесь выражений для i и q в уравнения (58,3), (58,6). Ограничимся лишь случаем, когда нет никакого существенного градиента давления, а концентрация и температура настолько мало меняются в жидкости, что коэффициенты в выражениях (59,11) и (59,12), являющиеся в общем случае функциями от с и Г, можно считать постоянными. Будем, кроме того, считать, что в жидкости нет никакого макроскопического движения, помимо того, которое может быть вызвано самим наличием градиентов температуры и концентрации. Скорость такого движения будет пропорциональна этим градиентам, и потому в уравнениях (58,3) и (58,6) члены, содержащие скорость, оказываются величинами второго порядка малости и могут быть опущены. Величиной второго порядка является также и член в (58,6). Таким образом, остается
Подставим сюда для i и q выражения (59,11) и (59,12) (без члена с а производную преобразуем следующим образом:
Здесь учтено, что согласно (59,8):
В результате получим после простого преобразования следующие уравнения:
(59,14)
Эта система линейных уравнений определяет распределение температуры и концентрации в жидкости.
В особенности важен случай, когда концентрация смеси мала. При стремлении концентрации к нулю коэффициент диффузии стремится к некоторой конечной постоянной, а коэффициент термодиффузии к нулю. Поэтому при малых концентрациях мало, и в уравнении (59,14) можно пренебречь членом Оно переходит тогда в уравнение диффузии:
Граничные условия для уравнения (59,16) в разных случаях различны. На границе с поверхностью тела, не растворимого в жидкости, должна обращаться в нуль нормальная к поверхности компонента диффузионного потока другими словами, должно быть Если же речь идет о диффузии от тела, растворяющегося в жидкости, то вблизи его поверхности быстро устанавливается равновесие, при котором концентрация в примыкающей к поверхности тела жидкости равна концентрации насыщенного раствора диффузия вещества из этого слоя происходит медленнее, чем процесс растворения. Поэтому граничное условие на такой поверхности гласит: Наконец, если твердая поверхность «поглощает» попадающее на нее диффундирующее вещество, то граничным условием является равенство (с таким случаем приходится, например, иметь дело при изучении химических реакций, происходящих на поверхности твердого тела).
Поскольку уравнения чистой диффузии (59, 16) и теплопроводности имеют одинаковый вид, то все выведенные в §§ 51, 52 формулы могут быть непосредственно перенесены на случай диффузии простой заменой Т на с и на D.
Граничному условию теплоизолированной поверхности соответствует при диффузии условие на нерастворимой твердой поверхности; поверхности же, поддерживаемой при постоянной температуре, соответствует диффузия от поверхности растворяющегося в жидкости тела.
В частности, по аналогии с формулой (51,5) можно написать следующее решение уравнения диффузии:
Оно определяет распределение растворенного вещества в произвольный момент времени, если в начальный момент все вещество было сконцентрировано в бесконечно малом элементе объема жидкости в начале координат (М - полное количество растворенного вещества).
К сказанному в этом параграфе надо сделать важное замечание. Выражения (59,5) или (59,11-12) представляют собой первые неисчезающие члены разложения потоков по производным от термодинамических величин. Как известно из кинетической теории (см. X, §§ 5, 6, 14), такое разложение является, с микроскопической точки зрения, разложением (для газов) по степеням отношения длины свободного пробега молекул газа I к характерной пространственной длине задачи L. Учет членов с производными высших порядков означал бы учет величин более высокого порядка по указанному отношению. Следующими после написанных в (59,5) членов, которые можно образовать из производных от скалярных величин и Т, были бы члены с производными третьего порядка: эти члены заведомо малы по сравнению с уже учтенными в отношении
Лето! Солнце, тепло, в воздухе запах свежескошенной травы. Трава вон как далеко отсюда, а запах чувствуется. Это уже физика, подобное явление называется диффузией. И определяется оно как проникновение частиц соприкасающихся веществ друг в друга. Например, как сейчас, трава соприкасается с воздухом, и запах от скошенной травы распространяется по воздуху далеко от места косьбы. А характеризуется подобный процесс обычно такой величиной, как коэффициент диффузии.
Можно сказать, что всё происходящее вокруг нас во многом связано с процессами взаимопроникновения. Благодаря такому явлению мы даже живем. А что тут удивительного? Проникновение кислорода или питательных веществ в кровь - это и есть самая настоящая диффузия, одно вещество проникает в другое. Распространена диффузия в природе гораздо шире, чем нам кажется. Подобное явление не является чем-то экзотическим, а наоборот, достаточно широко представлено в окружающем мире. Даже то, что выдыхаемый человеком воздух не скапливается вокруг, а рассеивается в пространстве, тоже обусловлено диффузией.
Происходить взаимопроникновение может в самых разных телах - жидких, газообразных, твердых. Его причиной служит хаотическое движение молекул вещества. Кстати, такое явление, как диффузия считается в молекулярно-кинетической теории одним из факторов, подтверждающих ее. Так вот, возвращаясь к агрегатному состоянию тела: скорость проникновения вещества зависит от его и от такой величины, как коэффициент диффузии.
Что же это за таинственное понятие? Так называется количественная характеристика скорости переноса молекул одного вещества в какое-либо другое. Коэффициент диффузии, формула которого достаточно специфична, позволяет провести оценку количества вещества, прошедшего через единицу площади (квадратный метр) за единицу времени (секунду).
На практике установлено, что в газах взаимное проникновение происходит с наибольшей скоростью, а в твердых телах скорость проникновения минимальна. На коэффициент диффузии оказывают влияние температура тела и взаимная концентрация находящихся рядом веществ. С ростом температуры скорость взаимопроникновения увеличивается, с ростом концентрации вещества - тоже.
Таким образом, явление взаимопроникновения обусловлено так называемым градиентом концентрации или градиентом температуры. По типу диффузия разделяется на свободную и вынужденную. Вынужденная возникает под воздействием внешних сил. В зависимости от их вида вынужденную диффузию определяют как термо-, электро-, баро- и восходящую.
Диффузия широко используется в технике. Один из самых типичных примеров - диффузионная сварка. Суть подобной технологии проста: соединяют два различных тела (пусть это будут два металла), а затем подвергают их воздействию давления и температуры. Последняя по своей величине меньше, чем температура плавления веществ.
В итоге получается соединение двух разнородных материалов. Такая технология широко применяется в приборостроении и при изготовлении крупногабаритных деталей сложной формы, в опытном и мелкосерийном производстве. Подобная сварка может проводиться в разных условиях, вплоть до условий вакуума, все определяется конкретными требованиями, предъявляемыми к готовому изделию.
Другим, не менее распространенным, использованием явления диффузии является его применение для получения полупроводниковых структур. Одна из технологий создания р-n переходов основана на явлении взаимопроникновения. Под воздействием высоких температур, приближающихся к в кристаллической структуре получают области с нужной концентрацией примесей.
Рассмотрение понятия «коэффициент диффузии» позволило убедиться в чрезвычайно широком распространении явления взаимопроникновения веществ в природе, а также в разнообразных вариантах его использования в технике.
Cтраница 1
Коэффициент диффузии жидкости обычно является функцией влагосодержания, уменьшаясь с уменьшением количества влаги. Кривая 2 представляет экспериментальное значение коэффициента диффузии в зависимости от влажности материала, а кривая 3 построена для постоянного коэффициента диффузии.
Коэффициенты диффузии жидкости в жидкость в зависимости от вязкости имеют порядок 1 - 10 - 6 см2 / сек, точные их значения для процесса окисления сырья в битумы неизвестны. Их определение затруднено вследствие разнообразия исходных продуктов и сложного характера реакции.
Следует иметь в виду, что коэффициент диффузии жидкостей нельзя рассчитывать по формуле (44), выведенной - дтпг газов (см. § 48), так как характер теплового движения в жидкостях существенно отличен от такового в газах: частицы жидкости не совершают свободных пробегов. В соответствии с этим диффузия в жидкостях протекает гораздо медленнее, чем в газах.
Следует иметь в виду, что коэффициент диффузии жидкостей нельзя рассчитывать по формуле (44), выведенной для газов (см. § 48), так как характер теплового движения в жидкости существенно отличен от такового в газах: частицы жидкости не совершают свободных пробегов. В соответствии с этим диффузия в жидкостях протекает гораздо медленнее, чем в газах.
Экстракция - физический диффузионный процесс, скорость которого определяется коэффициентами диффузии жидкостей, участвующих в процессе. Если одновременно с экстракцией протекает химическая реакция в несмешивающейся фазе, то процесс ускоряется.
Экстракция - физический диффузионный процесс, его скорость определяется значением коэффициентов диффузии жидкостей, участвующих в процессе. Если одновременно с физической экстракцией протекает химическая реакция в несмешивающейся фазе, то процесс ускоряется.
Важно отметить одно обстоятельство, касающееся теплопроводности, вязкости и коэффициентов диффузии жидкостей.
Яэ и h - эквивалентный коэффициент теплопроводности и энтальпия материала; аж - коэффициент диффузии жидкости во влажном теле; б - относительный коэффициент термодиффузии; ро - масса абсолютно сухого материала в единиице объема влажного материала; Kv - коэффициент молярного переноса пара; V - V, VP - градиенты соответственно температуры, влагосодержания н общего давления.
Хотя основные положения теории газовой и жидкостной хроматографии совпадают, следует помнить, что: 1) коэффициенты диффузии жидкостей по крайней мере в 104 раз меньше, чем у газов, 2) вязкость элюента для жидкостей примерно в 100 раз больше, чем для газов, и 3) взаимодействия между молекулами неподвижной фазы и элюента в газовой хроматографии не учитываются, в то время как в жидкостной хроматографии ими пренебрегать нельзя. Однако теоретическая трактовка жидкостной хроматографии проще, так как подвижная фаза не сжимаема. К сожалению, многие хроматографисты плохо знают теорию. Чтобы решить какую-то определенную проблему, не всегда обязательно знать механизм разделения, однако не следует забывать, что понимание механизма позволит разработать лучший тип колонки. Поэтому знание простых основ теории для стандартной работы крайне необходимо, так как это обеспечит правильный выбор начальных условий, определяющих оптимальное разделение без чрезмерных затрат времени на экспериментальную работу.
Хотя основные положения теории газовой и жидкостной хрома - тографии совпадают, следует помнить, что: 1) коэффициенты диффузии жидкостей по крайней мере в 104 раз меньше, чем у газов, 2) вязкость элюента для жидкостей примерно в 100 раз больше, чем для газов, и 3) взаимодействия между молекулами неподвижной фазы и элюента в газовой хроматографии не учитываются, в то время как в жидкостной хроматографии ими пренебрегать нельзя. Однако теоретическая трактовка жидкостной хроматографии проще, так как подвижная фаза не сжимаема. К сожалению, многие хроматографисты плохо знают теорию. Чтобы решить какую-то определенную проблему, не всегда обязательно знать механизм разделения, однако не следует забывать, что понимание механизма позволит разработать лучший тип колонки. Поэтому знание простых основ теории для стандартной работы крайне необходимо, так как это обеспечит правильный выбор начальных условий, определяющих оптимальное разделение без чрезмерных затрат времени на экспериментальную работу.
В плоскости, перпендикулярной к направлению скорости, так называемый трансверсальный (поперечный) коэффициент диффузии значительно меньше отличается от коэффициента диффузии жидкости, находящейся в состоянии покоя.
Коэффициенты диффузии разреженных газов почти не зависят от состава, увеличиваются с повышением температуры и изменяются обратно пропорционально давлению. Коэффициенты диффузии жидкостей и твердых тел сильно зависят от концентрации и обычно возрастают с увеличением температуры. В последующих разделах рассматриваются существующие методы расчета коэффициентов диффузии.
Приведенные выражения довольно хорошо описывают разделение жидких органических смесей. Малая величина коэффициента диффузии жидкости приводит к необходимости работать с очень узким рабочим зазором порядка 0 25 - г - 0 4 мм. Поскольку величина рабочего зазора входит в четвертой степени в формуле (2), то предъявляются высокие требования к выдерживанию постоянства рабочего зазора.
Как уже упоминалось, кинетическая теория газов позволяет просто объяснить факт медленности процесса диффузии, несмотря на большие значения скоростей тепловых движений молекул. Это обусловлено тем, что молекулы газа, чтобы попасть из одной точки в другую, вследствие столкновений вынуждены пройти длинный зигзагообразный путь, во много раз превосходящий расстояние по прямой между этими точками.
Кроме такого качественного объяснения, кинетическая теория позволяет и количественно оценить величину коэффициента диффузии и выразить его через молекулярные величины - длину свободного пробега молекул и скорости их тепловых движений.
Рассмотрим площадку 5 в сосуде с газовой смесью, перпендикулярную к оси X (рис. 51), вдоль которой поддерживается
постоянная разность концентраций (речь идет, следовательно, о стационарном процессе). Примем для определенности, что Из-за тепловых движений молекулы интересующего нас компонента будут переходить через площадку 5 как слева направо, так и справа налево. Ввиду существующей разности концентраций по обе стороны площадки возникнет некоторый диффузионный поток вдоль оси X, равный, очевидно, разности между числом молекул пересекающих площадки 5 в 1 с (перпендикулярно к ее плоскости) в направлении положительных значений X (вправо), и числом молекул пересекающих то же сечение и за то же время в противоположном направлении (влево):
Как определить число молекул, пересекающих площадки? Если бы все молекулы двигались с одинаковой скоростью направленной по оси X, то число молекул, переходящих в 1 с площадку в было бы равно где число молекул в единице объема.
В действительности существует распределение молекул по скоростям, но для грубой оценки мы примем, что у всех молекул одна и та же скорость, равная средней скорости Примем также, что тепловые скорости молекул равномерно распределены по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Тогда из всех молекул единицы объема движется вдоль оси X и из них половина движется в положительном направлении оси X, т. е. по направлению к площадке, в то время как другая половина движется в противоположном направлении - от нее.
Следовательно, число молекул пересекающих площадки в 1 с слева направо, и число молекул пересекающих ту же площадку в противоположном направлении, выразятся соотношениями:
Здесь концентрации молекул с одной и с другой стороны от площадки. Относительно значений величин необходимо заметить, что они изменяются вдоль оси X вследствие столкновений молекул между собой. Поэтому к выделенной нами площадке молекулы подходят, имея те значения концентраций которые создались при последнем столкновении перед площадкой. Значит, мы должны считать, что это те числа молекул в единице объема, которые были на расстоянии (средняя длина свободного пробега) от площадки, по обе стороны от нее.
Диффузионный поток следовательно, определяется выражением
где разность концентраций между точками, отделенными друг от друга расстоянием в Разность эту нетрудно определить, если известно значение градиента концентрации - (будем полагать, что изменяется только по оси т. е. вместо можно писать Так как есть разность концентраций, приходящаяся на единицу длины, то на расстоянии она равна:
Эта формула справедлива, если X достаточно мало.
Таким образом, для диффузионного потока получаем выражение:
или, умножив обе части этого равенства на массу молекулы имеем:
Сравнивая его с уравнениями (40.2) и (40,3) закона Фика
находим интересующее нас выражение для коэффициента диффузии:
Из этого выражения видно, что коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению газа (потому что и прямо пропорционален квадратному корню из температуры
При выводе формулы (42.1) не принималась во внимание диффузия второго компонента, крторая, разумеется, тоже происходит. И она не может не влиять на диффузию рассматриваемого компонента смеси.
Так, например, в смеси водорода и углекислого газа водород должен диффундировать значительно быстрее, чем углекислый газ, потому что при данной температуре средняя скорость тепловых движений молекул водорода почти в пять раз больше и, кроме того, длина свободного пробега молекул водорода тоже больше. Но это
значит, что объем водорода, переносимого в одном направлении, больше объема углекислого газа, переносимого в противоположном направлении. В таком случае в газе неизбежно возникает разность давлений, а значит, и поток газа в целом. Между тем мы определили диффузию как процесс, при котором давление газовой смеси во всех точках остается постоянным и газ, как целое, покоится. На самом же деле в процессе взаимной диффузии двух различных газов, одного в другой, превышение диффузионного потока одного из них над потоком другого уравновешивается течением всего газа по направлению к той области, где первоначально находились более быстро диффундирующие молекулы.
Этого обстоятельства мы, однако, не принимали во внимание при выводе формулы (42.1) для коэффициента диффузии, и эта формула справедлива в сущности только для диффузии молекул газа в среде того же газа. Такой процесс называется самодиффузией, а формула (42.1) выражает, следовательно, коэффициент самодиффузии.
С таким явлением мы имеем дело, например, когда газовая смесь состоит из двух различных изотопов одного и того же вещества, лишь незначительно отличающихся друг от друга своей массой, но не отличающихся никакими другими свойствами. Если один из изотопов радиоактивен, то такую самодиффузию легко наблюдать, так как за проникновением радиоактивных частиц можно следить по их излучению.
Коэффициенты диффузии
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Коэффициенты диффузии |
| Рубрика (тематическая категория) | Спорт |
Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки
При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил данный путь как расстояние, проходимое частицей жидкости до потери своей индивидуальности вследствие смешения с окружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характеризует перемешивающую способность потока. Это понятие используют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузионных процессах основным является процесс выравнивания содержания, путь перемешивания определяют как расстояние, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследствие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выражение ʼʼпотеря индивидуальностиʼʼ толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания принято называть путем перемешивания для содержания.
В случае если воздушный поток представить как совокупность шарообразных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.
В общем случае пути перемешивания для импульса и для содержания не равны друг другу, хотя до недавнего времени последний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение должна быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.
Путь перемешивания для содержания является важной газодинамической характеристикой, определяющей основной показатель интенсивности процесса турбулентной диффузии - коэффициент турбулентной диффузии.
Каждый из существующих четырех механизмов распространения газообразной примеси в вентиляционном потоке (конвективный, диффузионный молекулярный и диффузионный турбулентный переносы и распространение примеси путем вытеснения) характеризуется определенным количеством газа, переносимого газовым потоком через единицу площади в единицу времени. Соответственно отмеченным механизмам распространения существуют конвективный, молекулярный диффузионный, турбулентный диффузионный газовые потоки и "поток расширения".
В случае если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q в = U S . При содержании газа с в объёме Q в вектор его расхода через рассматриваемую поверхность за счёт конвективного переноса потоком воздуха Q г = с Q в и вектор конвективного потока газа
J k = Q г / S= с U, (6.5)
а его компоненты по осям координат
j kx = cu; j ky = cv; j kz = cw; (6.6)
где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной скорости U .
При определении молекулярного диффузионного потока газа исходят из его пропорциональности градиенту содержания газа (первый закон Фика):
j м = - D м ·grad c , (6.7)
где D м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом молекулярной диффузии.
Компоненты молекулярного диффузионного потока:
j м x = -D м ·дс/дх; j м y = -D м ·дс/ду; j м z = -D м ·дс/дz. (6.8)
D м не зависит от координат.
Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление молекулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, ᴛ.ᴇ. поток, направлен в сторону падения содержания.
Турбулентный диффузионный поток газа можно выразить аналогично конвективному, используя, однако, вектор не усредненной, а пульсационной скорости u п и не усредненное, а пульсационное значение содержания с п . Тогда вектор мгновенного турбулентного диффузионного потока газа будет равен с п u п, а усредненного по времени
Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:
где и п , v п , w п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.
Турбулентный диффузионный поток, согласно идее Буссинеска о переносе импульса, определяют аналогично молекулярному, с той лишь разницей, что коэффициентом пропорциональности между потоком и градиентом содержания будет коэффициент турбулентной диффузии D т , зависящий от ее направления:
j т = - D т ·grad c , ; (6.11)
j т x = -D т x ·дс/дх; j т y = -D т y ·дс/ду; j т z = -D т z ·дс/дz, (6.12)
где D т x , D т y , D т z - компоненты коэффициента турбулентной диффузии.
Поток расширения - поток конвективный. В случае если некоторый объем газовоздушной смеси со средним по объёму содержанием газа с расширяется за счёт ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:
j р x = cu р ; j р y = cv р ; j р z = cw р ; , (6.13)
где u р ; v р ;w р - компоненты скорости расширения.
Поток расширения должна быть положительным (газовыделение происходит в рассматриваемый объём) и отрицательным (в рассматриваемом объёме происходит поглощение газа).
Полный поток газа в точке
j 0 =j k +j м +j т +j р (6.14)
Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем балансе газопереноса в выработке определяется конкретными условиями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбулентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (к примеру, камеры больших сечений) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффузионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диффузии и расширения (в случае выделения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентностью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз активнее молекулярного.
Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):
Аналогично определяется соотношение между компонентами потоков. Так, для поперечных относительно основного движения воздушного потока компонент
Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечного сечения 10 м 2 . Удельное газовыделение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м 2). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделение на рассматриваемом участке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м 3 /мин. Следовательно, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и р = 0,3: (10·2) = 1,5·10 -2 м/мин. В случае если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10 -2 = 7,5·10 -5 м 3 /(мин·м 2). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и равном 0,5·10 -5 м -1 , продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10 -8 м 3 /(мин·м 2), продольный турбулентный -10 -5 м 3 /(мин·м 2).
В выражениях для диффузионных газовых потоков коэффициенты молекулярной и турбулентной диффузии являются единственными параметрами, учитывающими свойства среды. Естественно, что эти величины имеют сложный характер, и их определение - одна из важных задач теории диффузионных процессов.
Коэффициенты молекулярной диффузии . Для газов со сходными молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффициента молекулярной диффузии:
,
где - длина свободного пробега молекул; v м - скорость их теплового движения; черта означает среднее значение величины. При нормальных условиях имеет порядок 10 -5 см, v м = 10 -4 ÷10 -5 см/с.
В силу статистической однородности молекулярного движения величины и , а, следовательно, и коэффициент молекулярной диффузии не зависят от направления. Коэффициент молекулярной диффузии слабо зависит от содержания диффундирующего газа. С увеличением температуры он возрастает пропорционально Т 1+ a , где Т - абсолютная температура среды, а - коэффициент, изменяющийся от 0,5 до 1. С увеличением давления коэффициент уменьшается в обратно пропорциональной зависимости.
Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диффузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Вместе с тем, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относительно невелики. По этой причине при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.
Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффузии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии среды в данный газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.
Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с
Аммиак в воздухе 0 0,217
Водород в воздухе - 0,634
Метан в воздухе - 0,196
Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138
Углекислый газ в воздухе 0 0,142
Коэффициенты турбулентной диффузии . В теории турбулентности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вводится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.
В первом способекоэффициент турбулентной диффузии определяют, следуя Буссинеску, как коэффициент пропорциональности между потоком газа и градиентом содержания в соответствии с формулой (6.11) - j т = - D т ·grad c .
Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, в случае если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не должна быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вследствие различия компонент пульсационных скоростей.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор.
Размещено на реф.рф
Можно показать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выражение:
(6.17)
(6.18)
(i ,j = х,у,z )является тензором коэффициентов турбулентной диффузии второго ранга с компонентами D т xx , D т xу, ..., D т zz .
Выражение (6.17) должна быть записано в свернутом виде
. (6.19)
где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, в случае если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).
Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. В случае если тензор симметричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диагональными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .
Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,
В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.
В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинеарны*. Следовательно, согласно определению, направление вектора gradс является главным направлением тензора, а ось координат, соответствующая ему, - главной осью. Нахождение главных осей тензора коэффициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неопределенная, так как для этого крайне важно знать поверхности равных содержаний в потоке, ᴛ.ᴇ. поле содержаний, что обычно является конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления бывают определены достаточно просто. К примеру, при газовыделении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому боку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случаях главные оси тензора могут иметь и другие направления.
Следует отметить, что принятие тензора D т y
симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также определенным допущением. Стоит сказать, что для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выработке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэффициентов турбулентной диффузии бывают выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и
ni
и пути перемешивания для содержания 
(здесь i
,j
= х, у, z, и
ni
= и п
; u
пу
=
v
n u
nу
=w
n). Важно заметить, что для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . При этом для неизотропных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i
и j
, а это не отвечает приведенным равенствам. Несимметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фактором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.
Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в приземном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). При этом степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосферных, что может привести к крайне важно сти учета факта несимметричности тензора диффузии.
Второй способопределения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:
.
(6.21)
Здесь, подобно тому, как это было принято в выражении (6.19) - , суммирование производится по двойному индексу (j
); i = j = х,у,z;
; L c
- путь перемешивания для содержания.
Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга
(6.22)
определяемым девятью компонентами -
Сопоставляя методы выражения коэффициента турбулентной диффузии по Буссинеску и Прандтлю, видим, что в первом случае коэффициент турбулентной диффузии остается неопределенным, во втором - определяется через характеристики турбулентного движения ().
В случае плоского потока (
) коэффициент турбулентной диффузии в поперечном к основному движению направлении определяется из выражения (6.21):
В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству
ᴛ.ᴇ. в данном частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.
В случае если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим выражение
, (6.24)
где среднее квадратичное значение v п
а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. В случае если принять, что
L / L с = а 2 = сопst, (6.25)
.
(6.26)
Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).
Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы относительно величин l С
(),
можно, измеряя в потоке, определить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым допущением является отождествление l с
путем перемешивания для импульса l
; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.
Следующим шагом в данном направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропорциональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объёме и в среде. По имеющимся сведениям, данный коэффициент больше 1; для азота он равен ~, для гелия ~. Имеются попытки оценить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затухание турбулентности под действием объёмных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.
Наконец, третий способ определения коэффициента турбулентной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентрированных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в данном случае коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:
,
где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины случайные, являющиеся функцией времени.
Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. Сегодня практически ничего неизвестно о недиагональных компонентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты написания обозначим D т xx = D тх и т.д.
Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбулентной диффузии является функцией координат. Это можно видеть, к примеру, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длине выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зависимости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.
Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных выработках немногочисленны, что в значительной степени объясняется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведения частично основываются на данных о коэффициенте турбулентного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии .
К.М. Тумаковой были установлены автомодельность поперечных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:
; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - высота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных составляющих коэффициента диффузии. Их значения в ядре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.
В ряде случаев хорошие результаты получаются, в случае если использовать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициентов турбулентной диффузии.
Коэффициент турбулентной диффузии должна быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Важно заметить, что для случая однородной и изотропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без градиента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:
, (6.27)
где с - содержание газа в точке с координатами х,у;z - расстояние от источника вниз по потоку; у - расстояние от точки, соответствующей максимальному содержанию газа с mах в плоскости х = соnst, измеряемое в направлении, перпендикулярном направлению движения воздуха; и - скорость потока воздуха.
В случае если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . К примеру, полагая с = с mах /2, получим
D т =, (6.28)
где - расстояние от оси газового факела до точки в его поперечном сечении, в которой с = с mах /2.
Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измерению: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента͵ - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.
Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффузии, не зависящие от координат.
Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных потоков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направлении основного течения (при неизменных форме сечения, шероховатости стен и расходе воздуха). По этой причине для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компоненты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источник попадает в области все большего градиента скорости, ᴛ.ᴇ. все большей анизотропии турбулентности.
Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при течениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахтных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рамной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относительной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, горизонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 приведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата͵ перпендикулярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относительных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные производится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линейный размер потока (к примеру, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.
Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)
Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ширина выработки)
Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:
модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с ..........................................1,1
квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,
скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1
то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8
квершлаг без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 11,8 м 2 , скорость воздушной струи 1,7 м/с .......................................................5,1
то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8
штрек без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 10 м 2 , скорость воздушной струи 0,27 м/с ...............................................................0,8
Для расчета продольных D т x и поперечных D т y компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.
Для штрекообразных выработок
; (6.29)
, (6.30)
где 
, а число Рейнольдса не рассчитывается по .- площадь поперечного сечения выработки, м 2 .
По этим формулам для некоторых средних условий (u ср = 1 м/с; Н= 2,5 м, = 0,1 м/с; R = 1 м) значения компонент D т x , D т y составляют порядка 10 -3 м /с.
Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеивание газа в потоке за счёт работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) скорости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.
В 1951 ᴦ. В.Н. Воронин показал, что при движении газового облака по выработке его продольная деформация определяется профилем скоростей. В 1953 ᴦ. Дж. Тэйлор опубликовал решение задачи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рассеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсациями скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, движущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D
Коэффициент D э должна быть определен в точке или быть усредненным.
Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили получить следующее выражение для эффективного коэффициента диффузии штрекообразной выработки:
;
(6.37)
по И.Ф. Ярембашу
. (6.38)
Здесь v - кинематический коэффициент вязкости воздуха, м 2 /с; u ср, - средняя скорость воздушного потока, м/с; D - диаметр выработки, м; α - коэффициент аэродинамического сопротивления выработки, Н·с 2 /м 4 ; S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 ; r - плотность воздуха, кг/м 3 .
К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эффективного коэффициента диффузии:
, (6.39)
где
, а число Рейнольдса рассчитывают по . Значение D
э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии
Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.
Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости канала на коэффициент диффузии, сделали вывод, что данный фактор может увеличивать D э до двух раз.
Для изучения газодинамических процессов при действии свободных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с я к среднему содержанию на ее границе с гр:
Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.
Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:
для основного участка круглой струи
k т = 1÷1,84А ; (6.41)
для основного участка плоской струи
k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)
В приведенных формулах
(6.43)
, (6.44)
где R Я - радиус ядра постоянной массы; и - скорость в точке с координатами х , у; и 0 - осевая скорость; φ я - относительная координата границы ядра постоянной массы;
а - коэффициент структуры свободной струи, зависящий от начальных турбулентности и профиля скорости (по В.Н. Воронину, для круглой струи а = 0,044÷0,053, для плоской а = 0,09÷0,12).
Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитанные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.
Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объёмах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объёмах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограниченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим изменением коэффициента структуры а.
Рис. 6.4. Зависимость k т от для круглой (а) и аl/b 0 для плоской (б) струй (l - длина струи, S - площадь ее начального сечения)
С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:
для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при
n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).
При п < 2,33 коэффициент структуры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;
для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33
а = 0,062 (п -0,5)
При n <2,33 а = 0,034;
для плоской струи при п > 3,12
а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),
а при п <3,12
а = 0,085 .
Коэффициенты диффузии - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Коэффициенты диффузии" 2017, 2018.
