Как держать форму. Массаж. Здоровье. Уход за волосами

Все формулы по стереометрии для егэ. Справочник с основными фактами стереометрии

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

\({\color{red}{\textbf{Факт 1. Про параллельность прямых}}}\)
\(\bullet\) Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
\(\bullet\) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
\(\bullet\) Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
\(\bullet\) Если прямая \(a\) параллельна прямой \(b\) , а та в свою очередь параллельна прямой \(c\) , то \(a\parallel c\) .
\(\bullet\) Пусть плоскость \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\) , плоскости \(\beta\) и \(\pi\) пересекаются по прямой \(b\) , плоскости \(\pi\) и \(\alpha\) пересекаются по прямой \(p\) . Тогда если \(a\parallel b\) , то \(p\parallel a\) (или \(p\parallel b\) ):

\({\color{red}{\textbf{Факт 2. Про параллельность прямой и плоскости}}}\)
\(\bullet\) Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:
1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости);
2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость);
3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).
\(\bullet\) Если прямая \(a\) , не лежащая в плоскости \(\pi\) , параллельна некоторой прямой \(p\) , лежащей в плоскости \(\pi\) , то она параллельна данной плоскости.

\(\bullet\) Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\) . Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\) , то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) - прямая \(m\) - параллельна прямой \(p\) .


\({\color{red}{\textbf{Факт 3. Про параллельность плоскостей}}}\)
\(\bullet\) Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.
\(\bullet\) Если две пересекающиеся прямые из одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

\(\bullet\) Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\) , то линии пересечения плоскостей также параллельны: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]


\({\color{red}{\textbf{Факт 4. Про скрещивающиеся прямые}}}\)
\(\bullet\) Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
\(\bullet\) Признак:
Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\) . Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\) , не лежащей на прямой \(l\) , то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

\(\bullet\) алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми \(a\) и \(b\) :

Шаг 2. В плоскости \(\pi\) найти угол между прямыми \(a\) и \(p\) (\(p\parallel b\) ). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми \(a\) и \(b\) .


\({\color{red}{\textbf{Факт 5. Про перпендикулярность прямой и плоскости}}}\)
\(\bullet\) Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
\(\bullet\) Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
\(\bullet\) Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.


\({\color{red}{\textbf{Факт 6. Про расстояния}}}\)
\(\bullet\) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно из любой точки одной прямой опустить перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми.
\(\bullet\) Для того, чтобы найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, нужно из любой точки прямой опустить перпендикуляр на эту плоскость. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью.
\(\bullet\) Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
\(\bullet\) алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми \(a\) и \(b\) :
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых \(a\) провести плоскость \(\pi\) параллельно другой прямой \(b\) . Как это сделать: проведем плоскость \(\beta\) через прямую \(b\) так, чтобы она пересекала прямую \(a\) в точке \(P\) ; через точку \(P\) проведем прямую \(p\parallel b\) ; тогда плоскость, проходящая через \(a\) и \(p\) , и есть плоскость \(\pi\) .
Шаг 2. Найдите расстояние от любой точки прямой \(b\) до плоскости \(\pi\) . Это расстояние и есть расстояние между скрещивающимися прямыми \(a\) и \(b\) .

\({\color{red}{\textbf{Факт 7. Про теорему о трех перпендикулярах (ТТП)}}}\)
\(\bullet\) Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\) . Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\) . Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции: \[\begin{aligned} &1. AH\perp \beta, \ AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end{aligned}\]

Заметим, что прямая \(x\) необязательно должна проходить через точку \(B\) . Если она не проходит через точку \(B\) , то строится прямая \(x"\) , проходящая через точку \(B\) и параллельная \(x\) . Если, например, \(x"\perp BH\) , то и \(x\perp BH\) .

\({\color{red}{\textbf{Факт 8. Про угол между прямой и плоскостью, а также угол между плоскостями}}}\)
\(\bullet\) Угол между наклонной прямой и плоскостью - это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка \((0^\circ;90^\circ)\) .
Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным \(0^\circ\) . Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен \(90^\circ\) .
\(\bullet\) Чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку \(A\) на этой прямой и провести перпендикуляр \(AH\) к плоскости. Если \(B\) – точка пересечения прямой с плоскостью, то \(\angle ABH\) и есть искомый угол.

\(\bullet\) Для того, чтобы найти угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) , можно действовать по следующему алгоритму:
Отметить произвольную точку \(A\) в плоскости \(\alpha\) .
Провести \(AH\perp h\) , где \(h\) - линия пересечения плоскостей.
Провести \(AB\) перпендикулярно плоскости \(\beta\) .
Тогда \(AB\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\) , \(AH\) – наклонная, следовательно, \(HB\) – проекция. Тогда по ТТП \(HB\perp h\) .
Следовательно, \(\angle AHB\) - линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями.

Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник \(\triangle AHB\) (\(\angle B=90^\circ\) ). Как правило, находить \(\angle AHB\) удобно из него.

\({\color{red}{\textbf{Факт 9. Про перпендикулярность плоскостей}}}\)
\(\bullet\) Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. \

\(\bullet\) Заметим, что так как через прямую \(a\) можно провести бесконечное множество плоскостей, то существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных \(\beta\) (и проходящих через \(a\) ).

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Некоторые определения:

  1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью ), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности .
  3. – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
  4. – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими , если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными . Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями , тогда остальные грани – боковыми гранями , а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами .
  5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
  6. противолежащими . Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (n -угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n -угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n -угольники называются основаниями , а параллелограммы – боковыми гранями призмы – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n -угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n -угольники.
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается S бок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается S полн).
  9. Пирамида (n -угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n -угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n -угольник называется основанием ; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями , а их общая вершина называется вершиной пирамиды . Стороны граней пирамиды называются ее ребрами , а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми .
  10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается S бок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается S полн).
  11. Правильная n -угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n -угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром , если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

Построение сечений в стереометрии

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
  • Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
  • Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β .

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l 1 , по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l .

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b , либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β , то пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α ) проходит через прямую (на рисунке – с ), параллельную другой плоскости (на рисунке – β ), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d ) параллельна данной прямой:

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися , если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  • Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b O в пространстве и проведем через нее прямые a 1 и b 1 , параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a 1 и b 1 .

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b ) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a 1 параллельна a ). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a 1 и b ).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b , то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β , то пишут, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Теорема о трех перпендикулярах

Пусть точка А не лежит на плоскости α . Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α , и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α . Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α , называется отрезок АО , точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α , а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О , то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α , а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α . Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

  • две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
  • из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

  • Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
  • Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
  • Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α .

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА ’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

Определения:

  • Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
  • Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

Симметрия фигур

Определения:

  1. Точки M и M 1 называются симметричными относительно точки O , если O является серединой отрезка MM 1 .
  2. Точки M и M 1 называются симметричными относительно прямой l , если прямая l MM 1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M 1 называются симметричными относительно плоскости α , если плоскость α проходит через середину отрезка MM 1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l , плоскость α ) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l , плоскости α ) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Призма

Определения:

  1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP .
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK , BCML , CDNM , DEPN и EAKP .
  4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
  5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
  6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK , BL , CM , DN и EP .
  7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR .
  8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP .
  9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
  10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP .
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: S осн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE ), h – высота (на чертеже это MN ).

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
  • Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: S сеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA 1 или BB 1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: P сеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

  • Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
  • – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: P осн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h ). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = S осн ∙h = S осн ∙l .

  • Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
  2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
  4. Правильная призма является прямой.

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими , а имеющие общее ребро – смежными .
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими .
  • Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется наклонным , если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = S осн ∙h ).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным . Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • d и его рёбра a , b , c связаны соотношением:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда :

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом . Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:
  • Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба :

Пирамида

Определения:

  • Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE .
  • Грани, отличные от основания, называются боковыми . На чертеже это: ABC , ACD , ADE и AEB .
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A .
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми . На чертеже это: AB , AC , AD и AE .
  • Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE .

  • Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H . На чертеже высота это AG . Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
  • Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF .
  • Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE .

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA , SB , SC , SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

  • Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O ). Иными словами, высота (отрезок SO ), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD ), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
  • Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO , SBO , SCO , SDO ).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN , DKN , DLN на чертеже ниже равны), то:

  • В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N ). Иными словами, высота (отрезок DN ), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т.е. в точку пересечения биссектрис основания.
  • Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK , DL , DM – равные апофемы.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

Правильная пирамида

Определение: Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

  • В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Формулы для объема и площади пирамиды

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: S осн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: S бок – площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 – площади боковых граней.

  • Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

Определения:

  • – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
  • Тетраэдр называется правильным , если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC , ADC , CBD , BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

Усечённая пирамида

Определения и свойства:

  • Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  • Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A 1 B 1 C 1 .
  • Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B .
  • Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1 .
  • Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
  • Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
  • Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S 1 и S 2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P 1 и P 2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Пирамида и шар (сфера)

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О , равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = = = OD = OA . Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу . При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β .

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО 1

Пирамида и конус

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду , если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство:

Пирамида и цилиндр

Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Сфера и шар

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы . Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R .
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара . Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусом , хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью .
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом ).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О . Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB . Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B ), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару) . По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Многогранники и сфера

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу , если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар , если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

Объем и площадь поверхности шара

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

Шаровой сегмент, слой, сектор

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r 1 , r 2 − радиусы оснований шарового слоя, S 1 , S 2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R . Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности . Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра . Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним , если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

Цилиндр и призма

Призма называется вписанной в цилиндр , если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра , если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

Цилиндр и сфера

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр , если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу , если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R ), высоту цилиндра (h ) и радиус цилиндра (r ):

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра , как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S полн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

Конус

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса ), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса ) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса . Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым .
  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h ), радиус (R ) и длина образующей (l ) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: S осн = πR 2 . Следовательно, площадь полной поверхности конуса S полн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом .

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями , а отрезок, соединяющий их центры - высотой усеченного конуса .
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью .
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью , а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими .
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S 1 = π r 1 2 и S 2 = π r 2 2 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r 1 и r 2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P 1 = 2π r 1 и P 2 = 2π r 2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса , очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

Конус и сфера

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус , если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Конус и пирамида

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Это целых три задачи. Для начала надо выучить формулы. Все они есть в наших таблицах :

  • Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем - величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь - величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Объемные тела - это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).
Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины» «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма, правильная призма, правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма - прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной .
А правильная пирамида - такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Перейдем к практике.

Одна из распространенных задач в части 1 - такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана . Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое - обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии - видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем:

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу - если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется? :-)

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней - верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна . А как повлияет на него вырезанная «полочка»?
Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном - все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна .


А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна ! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то - представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна . Каким бы способом вы ни решали, результат один - площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: .

Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника :

. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной - на верхней и нижней гранях.

А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое - надо найти площадь поверхности .

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка - украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем - само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Правильный ответ: .

Следующий тип задач - когда одно объемное тело вписано в другое.


Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник - на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна , высота равна , объем равен .

. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами и . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите .

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть . Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна . Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: .


. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса . Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же - круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: .

Следующий тип задач - такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании - правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в раза уменьшится высота.
Ответ: .

. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи , на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен .

Высота Радиус Объем
Первая кружка
Вторая кружка

Считаем объем второй кружки. Он равен . Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

Задание 1 #3868

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основанием прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\) , причем \(\angle C=90^\circ\) . Диагонали боковых граней \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) равны соответственно \(26\) и \(10\) , \(AB=25\) .

а) Докажите, что \(\triangle BA_1C_1\) – прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\) .

а) Так как \(BB_1\perp (A_1B_1C_1)\) , \(B_1C_1\perp A_1C_1\) , то по теореме о трех перпендикулярах \(BC_1\perp A_1C_1\) (как наклонная). Следовательно, \(\triangle A_1C_1B\) – прямоугольный.

б) Заметим, что \(BC\perp AC\) и \(BC\perp CC_1\) , следовательно, по признаку \(BC\perp (AA_1C_1)\) . Следовательно, \(BC\) – высота пирамиды \(BAA_1C_1\) с основанием \(AA_1C_1\) .
Так как \(\triangle AA_1C_1\) прямоугольный, то \ По теореме Пифагора \[\begin{aligned} &A_1C_1=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{16\cdot 36}=24\\ &AA_1=\sqrt{26^2-25^2}=\sqrt{1\cdot 51}=\sqrt{51}\\ &BC=\sqrt{10^2-51}=\sqrt{49}=7 \end{aligned}\] Тогда \

Ответ:

б) \(28\sqrt{51}\)

Задание 2 #1268

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(ABCA_1B_1C_1\) - прямая треугольная призма, \(AB=16, \ BC=15, \ AA_1=8\) . \(M, N\) – середины ребер \(AC\) и \(B_1C_1\) соответственно. \(K,P\) – такие точки на ребрах \(BC\) и \(B_1C_1\) соответственно, что \(CK=B_1P=\dfrac{1}{6}BC\) .

а) Построить сечение призмы плоскостью \(\alpha\) , параллельной прямой \(MN\) и проходящей через точки \(K\) и \(P\) .

б) Найти площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha\) .

а)

Если прямая \(MN\parallel \alpha \Rightarrow MN\) параллельна некоторой прямой, лежащей в \(\alpha\) . Проведем \(NS\perp BC, NS\cap KP=O\) . В плоскости \(MNS\) проведем \(OH\parallel MN \Rightarrow MH=HS\) . Тогда прямая \(KH\cap AB=T\) . Так как плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны, то \(\alpha\) пересечет плоскость \(A_1B_1C_1\) по прямой, параллельной \(KT\) . Следовательно, проведем \(PR\parallel KT\) . Таким образом, \(TRPK\) – искомое сечение (трапеция).

б) Заметим, что \(CK=\dfrac{1}{6} \cdot 15=\dfrac{5}{2} \Rightarrow KS=5\) . Т.к. \(MS\) – средняя линия треугольника \(ABC \Rightarrow MS=8 \Rightarrow HS=4\) . Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольник \(HKS\) – прямоугольный, следовательно, \(\angle H =90^\circ\) и \(HK=3\) . Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах, из того, что \(NS\perp (ABC), HS\perp KT \Rightarrow OH\perp KT\) .

Проведем \(PH_1 \perp KT\) . Из подобия треугольников \(HOK\) и \(H_1PK\) следует, что \(PH_1=2OH\) . Т.к. \(OS=\dfrac{1}{2}NS=4, HS=4 \Rightarrow OH=4\sqrt2\) . Таким образом найдена высота трапеции \(PH_1=8\sqrt2\) .


Найдем основания трапеции \(KT\) и \(PR\) .

\(\sin \angle KSH = \dfrac{3}{5}=\sin \angle B=\dfrac{KT}{KB} \Rightarrow KT=\dfrac{15}{2}\) .

\(\bigtriangleup PRB_1 \sim \bigtriangleup KTB \Rightarrow PR=\dfrac{3}{2}\) .

Таким образом, \(S_{TRPK} = \dfrac{1}{2}\cdot (\dfrac{15}{2}+\dfrac{3}{2})\cdot 8\sqrt2 = 36\sqrt2\)

Ответ:

б) \(36\sqrt2\)

Задание 3 #2300

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольной пирамиде \(DABC\) двугранные углы при ребрах \(AD\) и \(BC\) равны. Известно также, что \(AB=BD=DC=AC=\sqrt{15}\) .

а) Докажите, что \(AD=BC\) .

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при \(AD\) и \(BC\) равны по \(60^\circ\) .

а) Рассмотрим пирамиду \(DABC\) , \(AB=BD=DC=CA\) , \(\angle (BAD,CAD)=\angle (BAC,BDC)\) .

Т.к. \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\) – равнобедренные, причем \(AD\) – общее основание, то высоты к основаниями попадут в одну точку – в середину стороны \(AD\) , точку \(N\) . То есть \(BN\perp AD\) , \(CN\perp AD\) . Таким образом, \(\angle BNC\) – линейный угол двугранного угла \(\angle(BAD,CAD)\) .


Аналогичным образом строится угол \(\angle AMD\) – линейный угол двугранного угла \(\angle (BAC,BDC)\) , где \(M\) – середина \(BC\) . Таким образом, \(\angle BNC=\angle AMD\) .

Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) по трем сторонам, то \(BN=CN\) . Аналогично \(AM=DM\) . Значит, \(\triangle AMD\) и \(\triangle BNC\) – равнобедренные и подобные (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Заметим, что плоскости \((AMD)\) и \((BNC)\) имеют две общие точки – это точки \(N\) и \(M\) . Следовательно, они пересекаются по прямой \(MN\) . Отрезок \(NM\) – это высота в \(\triangle AMD\) и \(\triangle BNC\) к основаниям \(AD\) и \(BC\) соответственно. Следовательно, эти треугольники равны. Следовательно, \(AD=BC\) , чтд.

б) Из пункта а) также следует, что \(AM=DM=BN=CN\) . Т.к. двугранные углы равны \(60^\circ\) , то \(\triangle AMD\) и \(\triangle BNC\) – равносторонние.
Пусть \(AM=DM=BN=CN=AD=BC=x\) .

Проведем высоту пирамиды \(DH\) . Т.к. \(DM\perp BC\) , то по теореме о трех перпендикулярах \(HM\perp BC\) . Таким образом, точка \(H\) должна лежать на \(AM\) , причем на середине, т.к. \(\triangle AMD\) – равносторонний.

\(DH=\frac{\sqrt3}2\cdot AD=\frac{\sqrt3}2x\) . Найдем по теореме Пифагора \(x\) из \(\triangle ABM\) :

\(AM=x\) , \(BM=\frac x2\) , \(AB=\sqrt{15}\) , следовательно, \(x=2\sqrt3\) .

Таким образом, \

Ответ:

б) \(6\)

Задание 4 #1265

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан правильный тетраэдр \(SABC\) , \(H\) – такая точка на высоте \(SO\) , что \(OH:HS=1:3\) . Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\) и \(H\) параллельно медиане \(BM\) треугольника \(ABC\) и пересекает ребро \(CS\) в точке \(P\) .

а) Докажите, что \(CP:PS=2:3\) .

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) .

а)

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны. Пусть ребро пирамиды равно \(a\) .
Т.к. пирамида правильная, то высота \(SO\) падает в точку пересечения медиан \(\bigtriangleup ABC\) . Рассмотрим плоскость \(BSM\) , точка \(H\) лежит в этой плоскости. Т.к. плоскость \(\alpha\) параллельна \(BM\) , то она пересекает плоскость \(BSM\) по прямой, параллельной \(BM\) .

Проведем \(RT\parallel BM, H\in RT\) . Тогда по теореме Фалеса \(\dfrac{SH}{HO}=\dfrac{ST}{TM}=\dfrac{3}{1}\) .

Прямая \(AT\) пересечет \(CS\) в точке \(P\) . \(\bigtriangleup APR\) – сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .
Напишем теорему Менелая для \(\bigtriangleup CSM\) и прямой \(AP\) :
\[\dfrac{CP}{PS}\cdot \dfrac{ST}{TM}\cdot \dfrac{MA}{AC}=1\] Из этого равенства находим, что \(\dfrac{CP}{PS}=\dfrac{2}{3}\)

б) Докажем, что линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\) параллельна прямой \(BM\) . Пусть это не так: пусть \(l\) – линия пересечения \(\alpha\) и \(ABC\) и \(l\cap BM=Z\) . Тога прямая \(BM\cap \alpha=Z\) , следовательно, не может быть параллельна \(\alpha\) . Получили противоречие, следовательно, \(l\parallel BM\) . Заметим, что прямая \(l\) проходит через точку \(A\) .

Построим линейный угол двугранного угла между \(\alpha\) и \(ABC\) . Т.к. \(HO\perp ABC\) , проведем \(OK\perp l\) , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(HK\perp l\) . Таким образом, \(\angle HKO\) – искомый угол.

1) Найдем \(HO\) .
\(BO=\dfrac{2}{3}\cdot BM=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}a=\dfrac{a}{\sqrt3}\)

Тогда \(SO=\sqrt{a^2 -\dfrac{a^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}a \Rightarrow HO=\dfrac{1}{4}SO=\dfrac{\sqrt2a}{4\sqrt3}\)

2) Найдем \(OK\) .
\(BM\perp AC, BM\parallel l \Rightarrow AC\perp l\) . Т.к. \(OK\perp l \Rightarrow OK\parallel AC\) . Таким образом, \(OMAK\) – параллелограмм, следовательно, \(OK=MA=\dfrac{1}{2}a\) .
Треугольник \(HOK\) – прямоугольный, следовательно, \(\mathrm{ctg}\,\angle HKO=\dfrac{OK}{HO}=\sqrt6\)
Тогда \(\angle HKO= \mathrm{arcctg}\,\sqrt6\) .

Ответ:

б) \(\mathrm{arcctg}\,\sqrt6\)

Задание 5 #3059

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , стороны основания которой равна \(4\) , а боковые ребра равны \(5\) .

а) Постройте сечение призмы плоскостью \(DMN\) , где \(M\) и \(N\) – середины отрезков \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) .

б) Найдите угол между данным сечением и плоскостью \(ABC\) .

(Задача от подписчиков)

а) Из условия следует, что призма прямая и основаниями являются квадраты.
\(MN\) – средняя линия в \(\triangle A_1B_1C_1\) , следовательно, \(MN\parallel A_1C_1\) . Тогда плоскость \(DMN\) пересечет плоскость \(A_1C_1CA\) по прямой \(l\) , параллельной \(A_1C_1\) (в противном случае \(l\) пересечет \(A_1C_1\) в некоторой точке \(K\) , которая будет лежать и на \(A_1C_1\) , и в плоскости \(DMN\) , следовательно, должна будет лежать и на \(MN\) , что невозможно, так как \(MN\) не пересекает \(A_1C_1\) ).
Таким образом, найдем точку, в которой плоскость \(DMN\) пересекает плоскость \(A_1C_1CA\) .

Пусть плоскость \(B_1D_1DB\) пересекает \(MN\) в точке \(T\) . Тогда \(DT\in (DMN)\) . Если \(O\) и \(O_1\) – точки пересечения диагоналей оснований, то прямые \(DT\) и \(OO_1\) лежат в плоскости \(B_1D_1DB\) . Пусть точка их пересечения – точка \(K\) . Тогда \(K\) – искомая точка пересечения плоскости \(DMN\) и плоскости \(A_1C_1CA\) .
Проведем через точку \(K\) прямую \(l\) параллельно \(A_1C_1\) . Пусть она пересекла \(AA_1\) в точке \(P\) , \(CC_1\) в точке \(L\) . Таким образом, получили сечение \(DPMNL\) призмы плоскостью \(DMN\) .

б) Заметим, что \(KO\perp (ABC)\) , следовательно, так как \(OD\perp AC\) , то и \(KD\perp AC\) по теореме о трех перпендикулярах. Значит, \(\angle KDO\) равен углу между плоскостями \(DMN\) и \(ABC\) .
По теореме Фалеса \[\dfrac{A_1M}{MB_1}=\dfrac11=\dfrac{O_1T}{TB_1} \quad\Rightarrow\quad O_1T=TB_1.\] \(\triangle TO_1K\sim \triangle DOK\) , следовательно, \[\dfrac{O_1T}{OD}=\dfrac12=\dfrac{O_1K}{OK}\] Следовательно, \(OK=\frac23OO_1=\frac23AA_1=\frac23\cdot 5=\frac{10}3\) . \(OD=\frac12 BD=\frac12\cdot \sqrt2AB=2\sqrt2.\) Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle KDO=\dfrac{OK}{OD}=\dfrac56\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad \angle KDO=\mathrm{arctg}\,\dfrac56\sqrt2.\]

Ответ:

б) \(\mathrm{arctg}\,\dfrac56\sqrt2\)

Задание 6 #3064

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с основанием \(ABC\) на медиане основания \(CE\) взята точка \(K\) так, что \(CK:KE=8:1\) . Через точку \(K\) проведена плоскость \(\alpha\) , которая перпендикулярна прямой \(CE\) и пересекает боковые ребра \(SA\) и \(SB\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.

а) Докажите, что \(MN:AB=2:3\) .

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка \(C\) , а основанием – сечение пирамиды \(SABC\) плоскостью \(\alpha\) , если известно, что \(AB=9\sqrt3\) , \(SA=18\) .

(Задача от подписчиков)

а) Пусть \(SO\) – высота пирамиды, \(O\) – точка пересечения медиан. Следовательно, \[\dfrac{CO}{OE}=\dfrac21\] Так как по условию \(CK:KE=8:1\) , то можно обозначить \(CK=8x\) , \(KE=x\) . Тогда \(CE=9x\) . Следовательно, \(CO=\frac23CE=6x\) , \(OE=3x\) , \(OK=2x\) .
Так как \(CE\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) , то нужно построить две пересекающиеся прямые в плоскости \(\alpha\) , которым \(CE\) будет перпендикулярна.
Первая прямая: так как \(CE\perp AB\) , то проведем через точку \(K\) прямую \(PL\parallel AB\) . Тогда \(CE\perp PL\) (\(P\in AC, L\in BC\) ).
Вторая прямая: так как \(SO\perp (ABC)\) , то \(SO\perp CE\) . Следовательно, проведем \(KK"\parallel SO\) , тогда \(KK"\perp CE\) (\(K"\in SE\) ).
Следовательно, \(\alpha\) проходит через точки \(P, L, K"\) .


Заметим, что \(\alpha\) пересечет плоскость \(ASB\) по прямой, параллельной \(AB\) (в противном случае \(\alpha\) будет иметь общую точку с \(AB\) , что невозможно, так как \(AB\parallel PL \quad\Rightarrow\quad AB\parallel \alpha\) ).
Следовательно, \(MN\parallel AB\) и проходит через \(K"\) .
Из подобия \(\triangle K"EK\sim \triangle SEO\) : \[\dfrac{SE}{K"E}=\dfrac{OE}{KE}=\dfrac31 \quad\Rightarrow\quad K"E= \dfrac13SE \quad\Rightarrow\quad SK"=\dfrac23SE.\] Из подобия \(\triangle MSN\sim \triangle ASB\) : \[\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{SK"}{SE}=\dfrac23.\]

б) Рассмотрим пирамиду \(CPMNL\) . \(CK\) – высота этой пирамиды, \(PMNL\) – трапеция (\(MN\parallel AB\parallel PL\) ).
Следовательно, \ Так как \(BC=9\sqrt3\) , то \(CE=\sqrt{BC^2-EB^2}=\frac{27}2\) . Следовательно, \ Из подобия параллельно прямой \(BD\) .

б) Найдите площадь построенного сечения.

(Задача от подписчиков)

а) Пусть \(N\) – середина ребра \(SC\) , \(SH\) – высота пирамиды (падает в точку пересечения диагоналей основания).
Необходимо построить прямую, лежащую в плоскости сечения и параллельную \(BD\) . Рассмотрим плоскость \(ASC\) . Прямая \(AN\) пересекает \(SH\) в точке \(O\) . Теперь рассмотрим \(BSD\) . Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую, параллельную \(BD\) . Пусть она пересечет ребра \(SB\) и \(SD\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Таким образом, \(AMNK\) – искомое сечение.


б) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах (так как \(OH\perp (ABC), AH\perp BD\) ) \(AO\perp BD\) . Так как \(BD\parallel MK\) , то \(AO\perp MK\) , следовательно, \(AN\perp MK\) . Следовательно, у четырехугольника \(AMNK\) диагонали взаимно перпендикулярны. Значит, его площадь можно найти как \

Заметим сразу, что \(BD=AC=AB\sqrt2=12\) .
Рассмотрим плоскость \(ASC\) .

По теореме Менелая: \[\dfrac{SN} {NC}\cdot \dfrac{CA}{AH}\cdot \dfrac{HO}{OS}=1 \quad\Rightarrow \quad \dfrac{HO}{OS}=\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad OS=2OH \quad\Rightarrow\quad \dfrac{SO}{SH}=\dfrac23.\] (это нам понадобится позже для поиска \(MK\) )

Проведем \(NQ\perp AC\) . Тогда из подобия \(\triangle SHC\) и \(\triangle NQC\) : \[\dfrac{SH}{NQ}=\dfrac{SC}{NC}=2 \quad\Rightarrow\quad NQ=\dfrac12SH=\dfrac12\sqrt{SC^2-HC^2}=\dfrac12\sqrt{21^2-6^2}= \dfrac12\sqrt{81\cdot 5}\] \(Q\) – середина \(HC\) , следовательно, \(AQ=\frac34AC=\frac34\cdot 12=9\) . Тогда по теореме Пифагора \
Рассмотрим \(BSD\) . Так как \(\triangle MSK\sim \triangle BSD\) , то \[\dfrac{MK}{BD}=\dfrac{SO}{SH}=\dfrac23 \quad\Rightarrow\quad MK=\dfrac23BD=\dfrac23\cdot 12=8.\] Следовательно, площадь сечения равна \