В общем случае коэффициент диффузии зависит от следующих факторов:
температуры процесса;
давления в реакционной системе;
концентрации легирующих веществ;
кристаллического совершенства и наличия упругих напряжений в структуре.
2.14 Первый закон Фика
Если рассматривать диффузию как процесс переноса атомов в неравновесной системе, вызываемый только наличием градиента концентрации вещества, то выражение для потока вещества, проходящего в единицу времени через единицу площади сечения, перпендикулярного направлению перемещения вещества, выглядит следующим образом:
J = -D-gradC, (5.1)
где J - поток диффундирующего вещества; D - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии и имеющий размерность см 2 /с; С - концентрация атомов вещества, см" 3 .
Знак "минус" в уравнении означает, что поток атомов (и, следовательно, сам процесс диффузии) направлен в сторону убывания концентрации примеси. Коэффициент диффузии - величина, экспоненциально зависящая от температуры
где Ea - энергия активации диффузии, эВ; D 0 - коэффициент диффузии при бесконечно большой температуре, см 2 /с; k постоянная Больцмана, 8,6*10 -5 эВ/К; Т- температура, К.
Уравнение (5.1) называют первым законом Фика, по имени швейцарского физика, получившего его, и говорит этот закон о том, что локальная скорость диффузии через сечение единичной площади в единицу времени пропорциональна градиенту концентрации рассоренного вещества, а направлена диффузия в сторону убывания концентрации примеси.
В технологии микроэлектроники используют плоскопараллельные пластины, и глубина проведения процессов диффузии много меньше толщины пластин. Это означает, что для теоретического анализа можно ограничиться одномерным случаем. Если концентрация примеси изменяется лишь в одном направлении, то выражение для потока в некоторой точке с координатой х в момент времени t будет иметь вид:
2.15 Второй закон Фика
С учетом закона сохранения вещества из первого закона Фика можно вывести выражение для второго закона Фика, согласно которому изменение концентрации вещества в некотором объеме должно определяться потоком внутрь этого объема
Уравнение (5.4) называют уравнением диффузии, и его решение для конкретных граничных условий описывает характер распределения диффундирующих частиц в различных точках среды в зависимости от времени.
2.16 Диффузия в полубесконечное тело из бесконечного источника.
Традиционно термодиффузионные процессы в технологии микроэлектроники проводят в две стадии. На первой стадии на поверхности подложки формируют тонкую легированную область. На второй стадии при отжиге структуры в атмосфере, не содержащей примесей, добиваются перераспределения введенных на первой стадии примесей в подложку. Первая стадия традиционного диффузионного процесса соответствует диффузии в полубесконечное тело из бесконечного источника. Вторая стадия диффузии соответствует диффузии в полубесконечное тело из ограниченного источника.
Полубесконечным телом любую монокристаллическую пластину можно считать при условии, что диффузия проводится на глубину, много меньшую толщины подложки. Бесконечным (или постоянным) источником можно считать такое состояние системы, когда количество примеси, уходящей с поверхности в объем полупроводника, равно количеству примеси, поступающей на поверхность. Это означает, что количество примеси вокруг пластины, например в газовой фазе, значительно больше, чем в ее объеме. Граничные условия в этом случае записываются как
С(х) =О при t = O;
С(х) =C 0 при t >О, х = О;
Решение второго закона Фико при данных граничных условиях описывается дополнительной функцией ошибок
Лето! Солнце, тепло, в воздухе запах свежескошенной травы. Трава вон как далеко отсюда, а запах чувствуется. Это уже физика, подобное явление называется диффузией. И определяется оно как проникновение частиц соприкасающихся веществ друг в друга. Например, как сейчас, трава соприкасается с воздухом, и запах от скошенной травы распространяется по воздуху далеко от места косьбы. А характеризуется подобный процесс обычно такой величиной, как коэффициент диффузии.
Можно сказать, что всё происходящее вокруг нас во многом связано с процессами взаимопроникновения. Благодаря такому явлению мы даже живем. А что тут удивительного? Проникновение кислорода или питательных веществ в кровь - это и есть самая настоящая диффузия, одно вещество проникает в другое. Распространена диффузия в природе гораздо шире, чем нам кажется. Подобное явление не является чем-то экзотическим, а наоборот, достаточно широко представлено в окружающем мире. Даже то, что выдыхаемый человеком воздух не скапливается вокруг, а рассеивается в пространстве, тоже обусловлено диффузией.
Происходить взаимопроникновение может в самых разных телах - жидких, газообразных, твердых. Его причиной служит хаотическое движение молекул вещества. Кстати, такое явление, как диффузия считается в молекулярно-кинетической теории одним из факторов, подтверждающих ее. Так вот, возвращаясь к агрегатному состоянию тела: скорость проникновения вещества зависит от его и от такой величины, как коэффициент диффузии.
Что же это за таинственное понятие? Так называется количественная характеристика скорости переноса молекул одного вещества в какое-либо другое. Коэффициент диффузии, формула которого достаточно специфична, позволяет провести оценку количества вещества, прошедшего через единицу площади (квадратный метр) за единицу времени (секунду).
На практике установлено, что в газах взаимное проникновение происходит с наибольшей скоростью, а в твердых телах скорость проникновения минимальна. На коэффициент диффузии оказывают влияние температура тела и взаимная концентрация находящихся рядом веществ. С ростом температуры скорость взаимопроникновения увеличивается, с ростом концентрации вещества - тоже.
Таким образом, явление взаимопроникновения обусловлено так называемым градиентом концентрации или градиентом температуры. По типу диффузия разделяется на свободную и вынужденную. Вынужденная возникает под воздействием внешних сил. В зависимости от их вида вынужденную диффузию определяют как термо-, электро-, баро- и восходящую.
Диффузия широко используется в технике. Один из самых типичных примеров - диффузионная сварка. Суть подобной технологии проста: соединяют два различных тела (пусть это будут два металла), а затем подвергают их воздействию давления и температуры. Последняя по своей величине меньше, чем температура плавления веществ.
В итоге получается соединение двух разнородных материалов. Такая технология широко применяется в приборостроении и при изготовлении крупногабаритных деталей сложной формы, в опытном и мелкосерийном производстве. Подобная сварка может проводиться в разных условиях, вплоть до условий вакуума, все определяется конкретными требованиями, предъявляемыми к готовому изделию.
Другим, не менее распространенным, использованием явления диффузии является его применение для получения полупроводниковых структур. Одна из технологий создания р-n переходов основана на явлении взаимопроникновения. Под воздействием высоких температур, приближающихся к в кристаллической структуре получают области с нужной концентрацией примесей.
Рассмотрение понятия «коэффициент диффузии» позволило убедиться в чрезвычайно широком распространении явления взаимопроникновения веществ в природе, а также в разнообразных вариантах его использования в технике.
Cтраница 1
Коэффициент диффузии жидкости обычно является функцией влагосодержания, уменьшаясь с уменьшением количества влаги. Кривая 2 представляет экспериментальное значение коэффициента диффузии в зависимости от влажности материала, а кривая 3 построена для постоянного коэффициента диффузии.
Коэффициенты диффузии жидкости в жидкость в зависимости от вязкости имеют порядок 1 - 10 - 6 см2 / сек, точные их значения для процесса окисления сырья в битумы неизвестны. Их определение затруднено вследствие разнообразия исходных продуктов и сложного характера реакции.
Следует иметь в виду, что коэффициент диффузии жидкостей нельзя рассчитывать по формуле (44), выведенной - дтпг газов (см. § 48), так как характер теплового движения в жидкостях существенно отличен от такового в газах: частицы жидкости не совершают свободных пробегов. В соответствии с этим диффузия в жидкостях протекает гораздо медленнее, чем в газах.
Следует иметь в виду, что коэффициент диффузии жидкостей нельзя рассчитывать по формуле (44), выведенной для газов (см. § 48), так как характер теплового движения в жидкости существенно отличен от такового в газах: частицы жидкости не совершают свободных пробегов. В соответствии с этим диффузия в жидкостях протекает гораздо медленнее, чем в газах.
Экстракция - физический диффузионный процесс, скорость которого определяется коэффициентами диффузии жидкостей, участвующих в процессе. Если одновременно с экстракцией протекает химическая реакция в несмешивающейся фазе, то процесс ускоряется.
Экстракция - физический диффузионный процесс, его скорость определяется значением коэффициентов диффузии жидкостей, участвующих в процессе. Если одновременно с физической экстракцией протекает химическая реакция в несмешивающейся фазе, то процесс ускоряется.
Важно отметить одно обстоятельство, касающееся теплопроводности, вязкости и коэффициентов диффузии жидкостей.
Яэ и h - эквивалентный коэффициент теплопроводности и энтальпия материала; аж - коэффициент диффузии жидкости во влажном теле; б - относительный коэффициент термодиффузии; ро - масса абсолютно сухого материала в единиице объема влажного материала; Kv - коэффициент молярного переноса пара; V - V, VP - градиенты соответственно температуры, влагосодержания н общего давления.
Хотя основные положения теории газовой и жидкостной хроматографии совпадают, следует помнить, что: 1) коэффициенты диффузии жидкостей по крайней мере в 104 раз меньше, чем у газов, 2) вязкость элюента для жидкостей примерно в 100 раз больше, чем для газов, и 3) взаимодействия между молекулами неподвижной фазы и элюента в газовой хроматографии не учитываются, в то время как в жидкостной хроматографии ими пренебрегать нельзя. Однако теоретическая трактовка жидкостной хроматографии проще, так как подвижная фаза не сжимаема. К сожалению, многие хроматографисты плохо знают теорию. Чтобы решить какую-то определенную проблему, не всегда обязательно знать механизм разделения, однако не следует забывать, что понимание механизма позволит разработать лучший тип колонки. Поэтому знание простых основ теории для стандартной работы крайне необходимо, так как это обеспечит правильный выбор начальных условий, определяющих оптимальное разделение без чрезмерных затрат времени на экспериментальную работу.
Хотя основные положения теории газовой и жидкостной хрома - тографии совпадают, следует помнить, что: 1) коэффициенты диффузии жидкостей по крайней мере в 104 раз меньше, чем у газов, 2) вязкость элюента для жидкостей примерно в 100 раз больше, чем для газов, и 3) взаимодействия между молекулами неподвижной фазы и элюента в газовой хроматографии не учитываются, в то время как в жидкостной хроматографии ими пренебрегать нельзя. Однако теоретическая трактовка жидкостной хроматографии проще, так как подвижная фаза не сжимаема. К сожалению, многие хроматографисты плохо знают теорию. Чтобы решить какую-то определенную проблему, не всегда обязательно знать механизм разделения, однако не следует забывать, что понимание механизма позволит разработать лучший тип колонки. Поэтому знание простых основ теории для стандартной работы крайне необходимо, так как это обеспечит правильный выбор начальных условий, определяющих оптимальное разделение без чрезмерных затрат времени на экспериментальную работу.
В плоскости, перпендикулярной к направлению скорости, так называемый трансверсальный (поперечный) коэффициент диффузии значительно меньше отличается от коэффициента диффузии жидкости, находящейся в состоянии покоя.
Коэффициенты диффузии разреженных газов почти не зависят от состава, увеличиваются с повышением температуры и изменяются обратно пропорционально давлению. Коэффициенты диффузии жидкостей и твердых тел сильно зависят от концентрации и обычно возрастают с увеличением температуры. В последующих разделах рассматриваются существующие методы расчета коэффициентов диффузии.
Приведенные выражения довольно хорошо описывают разделение жидких органических смесей. Малая величина коэффициента диффузии жидкости приводит к необходимости работать с очень узким рабочим зазором порядка 0 25 - г - 0 4 мм. Поскольку величина рабочего зазора входит в четвертой степени в формуле (2), то предъявляются высокие требования к выдерживанию постоянства рабочего зазора.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ ПРИМЕСИ В ПОЛУПРОВОДНИК
Цель работы: изучение моделей процесса диффузии примесей в полупроводник для различных технологических условий.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ К РАБОТЕ
Содержание работы: уяснить поставленную задачу, ознакомиться с законами диффузии - уравнениями Фика и решениями уравнения диффузии для различных частных случаев, которые широко используются при проведении процессов диффузии на практике.Ознакомиться с методикой работы с программой на ЭВМ, выполняющей расчет параметров процесса диффузии и графическое построение профиля диффузианта.
1.1. Основные сведения из теории
Диффузия представляет собой обусловленное тепловым движением перемещение атомов вещества в направлении убывания их концентрации.
Основой математического описания процессов диффузии являются два дифференциальных уравнения Фика. Первое уравнение (первый закон Фика) записывается следующим образом:
(3.1)
где J - плотность потока диффундирующего вещества, т.е. количество вещества, проходящего за единицу времени через единичную площадь поверхности, перпендикулярной направлению переноса вещества;
N - концентрация атомов примеси;
D - коэффициент диффузии.
Скорость переноса пропорциональна градиенту концентрации, а в качестве коэффициента пропорциональности вводится коэффициент диффузии. Знак минус в правой части (3.1) указывает на то, что диффузия происходит в направлении убывания концентрации. Другими словами, диффузия идет благодаря стремлению системы достичь физико-химического равновесия. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока химические потенциалы компонентов всей системы не станут равными.
В макроскопическом представлении коэффициент диффузии определяет плотность потока вещества при единичном градиенте концентрации и является, таким образом, мерой скорости выравнивания градиента концентрации. Размерность коэффициента диффузии - м 2 /с (на практике чаще пользуются размерностью см 2 /с). В общем случае диффузия анизотропна и коэффициент диффузии зависит от кристаллографического направления.
Коэффициент диффузии при температуре диффузии определяют, используя известное выражение в форме уравнения Аррениуса
,
где предэкспоненциальный множитель D 0 (постоянная диффузии) - коэффициент диффузии при бесконечно большой температуре, см 2 /с;
Δ E - энергия активации диффузии, эВ;
k - постоянная Больцмана; T - температура процесса в градусах Кельвинах.
Диффузионные параметры различных элементов в кремнии, полученные различными исследователями, приведены в табл. 3.1
Таблица 3.1
|
Множитель D 0 , см 2 /с |
Энергия
активации |
Предельная растворимость при 1200 0 С, см -3 |
Тип проводимости |
|
|
Алюминий | ||||
|
амфотерный |
||||
,
эВКогда концентрация вещества изменяется только в одном направлении (одномерная диффузия) и при диффузии в изотропной среде (коэффициент диффузии - скаляр) первое уравнения Фика имеет следующий вид:
(3.2)
При простейшем анализе структур и в простейших моделях процессов легирования в технологии изготовления ИМС предполагаются именно такие условия диффузии.
Второе уравнение диффузии (второй закон Фика) получается путем сочетания первого закона и принципа сохранения вещества, согласно которому изменение концентрации вещества в данном объеме должно быть равно разности потоков этого вещества на входе в объем и выходе из него.
В общем случае второе уравнение диффузии имеет вид
(3.3)
Для одномерной диффузии в изотропной среде уравнение (3.3) можно записать
(3.4)
Второй закон Фика характеризует процесс изменения концентрации диффундирующей примеси во времени в различных точках среды и является математической моделью нестационарного (развивающегося) состояния системы (описывает период времени от начала процесса до установления стационарного состояния).
При постоянстве коэффициента диффузии D уравнение (3.4) упрощается
(3.5)
Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев, реализуемых в технологии ИМС.
Уравнения диффузии являются чисто феноменологическими, т.е. они не содержат никаких сведений о механизмах диффузии - о диффузионном процессе на атомном уровне. Кроме того, уравнения (3.1) - (3.5) не содержат информации о зарядовом состоянии диффундирующих частиц.
Процессы диффузии, используемые для изготовления интегральных структур, обычно анализируются с помощью частных решений уравнения (3.5) т.к., в отличие от (3.2), именно оно содержит важный параметр - время установления некоторого анализируемого состояния системы.
Основная цель решения уравнения - найти распределение примеси N ( x , t ) в полупроводнике после диффузии в течение определенного времени t при различных условиях осуществления процесса.
Общее решение уравнения (3.5) для бесконечного твердого тела при заданном в общем, виде начальном распределении примеси N ( x ,0) = f ( x ) может быть найдено методом разделения переменных. Оно имеет вид
, (3.6)
где ξ - текущая координата интегрирования.
Представленное выражение позволяет находить распределения примеси в твердом теле при любых начальных условиях. Решение конкретной задачи сводится к подстановке в (3.6) соответствующих ситуации начальных условий с последующими, как правило, очень громоздкими преобразованиями. Практически при создании полупроводниковых ИМС представляют интерес три частных случая: диффузии из полубесконечного пространства, диффузия из постоянного источника и диффузии из бесконечно тонкого слоя.
Диффузия из полубесконечного пространства (диффузия из концентрационного порога).
Диффундирующая примесь (диффузиант) поступает в полубесконечное тело через плоскость x = 0 из второго полубесконечного тела (источника) с равномерным распределением примеси. Концентрация примеси в источнике – N 0 . Предполагается, что в принимающем диффузант теле нет рассматриваемой примеси.
Начальное распределение концентраций для этого случая задается в виде
дляx
< 0,
дляx
> 0.
Решением уравнения (3.6) для этого случая является выражение
, (3.7)
где erf z - называют интегралом ошибок Гаусса или функцией ошибок (error function ) Гаусса аргумента z . В соответствии с сокращением это распределение называют erf – распределением:
. (3.8)
В математике часто используют как самостоятельную и другую функцию
,
(3.9)
которая называется дополнением функции ошибок до единицы или дополнительной функцией ошибок - error function complement. Обе функции табулированы.
Величина
имеет
размерность длины и носит название
диффузионной
длины
или
длины
диффузии.
Физический
смысл этого параметра - среднее расстояние,
которое преодолели диффундирующие
частицы в направлении выравнивания
градиента концентрации за время
t
.
Рассмотренное решение можно использовать как простейшую модель, представляющую распределение примеси на границе эпитаксиальная пленка – подложка.
Диффузия из постоянного источника .
Диффузант поступает в полубесконечное тело через плоскость x = 0 из источника, обеспечивающего постоянную концентрацию примеси N 0 на поверхности раздела твердое тело - источник в течение любого времени. Такой источник называют бесконечным или источником бесконечной мощности. Полагается, что в принимающем диффузиант теле нет рассматриваемой примеси.
Начальное распределение концентраций и граничные условия для этого случая задаются в виде
дляx
= 0,
дляx
>0.
Решением уравнения (3.6) для данных условий является выражение
(3.10)
Если в объеме полупроводникового материала до диффузии имелась примесь противоположного типа по отношению к диффундирующей, эта примесь распределена по объему равномерно и её концентрация равна N исх , то в этом случае в полупроводнике образуется электронно-дырочный переход. Его положение (глубина залегания) x p - n определяется условием N ( x , t ) = N исх , откуда
(3.11)
и 
(3.12),
где здесь запись erfc -1 обозначает аргумент z функции erfc .
Рассмотренная модель диффузионного процесса с постоянным источником описывает процесс диффузионного легирования полупроводникового материала из газовой или паровой фазы. Этот процесс используется при создании сильно легированных диффузионных слоев (например, эмиттерных) с поверхностными концентрациями N 0 близкими к значениям предельной твердой растворимости примеси N пред в данном полупроводниковом материале.
Д иффузии из бесконечно тонкого слоя в полубесконечное тело с отражающей границей на поверхности. Примером диффузии примеси из тонкого слоя в полубесконечное тело с отражающей границей является диффузия в кремниевую пластину из эпитаксиального, имплантированного или диффузионного слоя и покрытую слоем двуокиси кремнияSiO 2 или нитрида кремния Si 3 N 4 . Границу пластины и пленки можно с большой долей правдоподобия принять отражающей, т.к. коэффициенты диффузии большинства примесей в кремний на несколько порядков больше, чем в двуокись кремния и нитрид кремния.
Решение диффузионного уравнения при этих условиях находится в виде
(3.13)
Приведенное выражение представляет собой Гауссово распределение.
При решении этой задачи необходимо знать количество примеси Q , накопленной в твердом теле при диффузии в течение времени t . Эта величина определяется по формуле
(3.14)
где J (0, t ) - поток диффузанта в объем через плоскость x = 0 .
Следует обратить внимание на возрастающее со временем значение накопленной в диффузионном слое примеси при диффузии с данными граничными условиями.Диффузию из бесконечно тонкого слоя в сочетании с диффузией из постоянного источника в полуограниченное тело нашли широкое практическое применение при формировании диффузионных p - n -переходов методом двухступенчатой диффузии.
На первой стадии процесса проводится кратковременная диффузия (при пониженных температурах) из постоянного источника, распределение примеси после которой описывается выражением (3.10). Значение N o при этом велико и определяется либо пределом растворимости данной примеси в полупроводниковом материале, либо концентрацией примеси в стеклообразном слое на поверхности полупроводника. Этот этап часто называют "загонкой".
После окончания первой стадии пластины помещают в другую печь для последующей диффузии, обычно, при более высоких температурах. В этой печи нет источника примеси, а если он создавался на первой стадии в виде стеклообразного слоя на поверхности пластин, его предварительно удаляют. Таким образом, тонкий слой легированного полупроводника, полученный на первом этапе, является источником перераспределяемой примеси при проведении второй стадии процесса. Для создания отражающей границы второй этап (часто называемый "разгонкой") проводят в окислительной атмосфере. При этом на поверхности растет слой SiO 2 .
Существует заметное несоответствие между распределением примеси в источнике, сформированном при загонке, с декларируемым при выводе выражения (3.14) - ступенчатым. Это несоответствие должно отразиться на точности описания реального распределения примеси после второй стадии диффузии выражением (3.14).
При моделировании двухстадийной диффузии и анализе результатов процесса полагают, что выражение (3.14) достаточно точно соответствует реальному при условии, если величина произведения D 1 t 1 для первого этапа процесса легирования значительно меньше, чем D 2 t 2 для второго – D 2 t 2 >> D 1 t 1 . Это условие быстрой истощаемости источника. В этом случае, учитывая, что количество накопленной при первом этапе примеси определяется соотношением
из (3.14) получим
(3.15)
Величины D 2 и t 2 относятся ко второй стадии диффузии.
Тонкий слой на поверхности полупроводниковой пластины является источником, который очень быстро истощается. Непрерывная диффузия в этом случае приводит к постоянному понижению поверхностной концентрации примеси в полупроводнике. Эту особенность данного процесса используют в полупроводниковой технологии для получения контролируемых значений низкой поверхностной концентрации примеси, например, для создания базовых областей кремниевых транзисторных структур дискретных приборов или ИМС.
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
В лабораторной работе для исследования теоретических аспектов процесса диффузии примеси в полупроводник используется специальная программа, работающая в среде WINDOWSи персоналный компьютерIBMPC. Программа позволяет выполнять расчет параметров диффузионного процесса и строить графики распределения примеси для различных параметров: вида и источника примеси, концентрации примеси, температуры и времени диффузии
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
3.1. Ознакомиться с методами проведения процессов диффузии для формирования p - n -перехода и получить у преподавателя исходные данные. Составить и согласовать с преподавателем план работы.
3.2. Включить компьютер.
3.3. Запустить программу двойным нажатием левой кнопки мыши на иконку "ЛР 3", находящуюся на рабочем столе, и затем "ChemicGraph.exe ".
3.4.Нажмите кнопку "Настройка" и в выпавшем меню выберите "Величины". В открывшемся окне введите исходные данные процесса диффузии: D t , количество интервалов (не менее 100), время диффузииt 1 , t 2 и t 3 .
Выберите в нижней части панели требуемый вариант диффузии, установив соответствующий флажок. Введите значение концентрации примеси N 0 , см -3 .
Нажмите кнопку "Промежуточные значения" и в открывшемся окне:
Введите z 1 – 0,z 2 = 3…5 и шаг для вычисления функцииerfz и нажмите кнопку "Расчет" для получения расчетных значений;
Введите x 1 ,x 2 и шаг для расчета профиля распределения примеси по глубине и нажмите кнопку "Расчет".
Скопируйте расчетные данные в отчет.
3.5. Закройте окно "Промежуточные значения" и нажмите кнопку "ОК" на панели "Величины" для построения графика.
Нажмите "Настройка" и в выпавшем меню выберите "Настройка графика". В открывшемся окне путем подбора масштаба по осям "Х" и "У" добейтесь оптимального изображения графика в линейном масштабе.
3.6. В окне "Настройка графика" установите флажок "Логарифмическая шкала" (по оси У) и нажмите "ОК" для построения графиков в полулогарифмическом масштабе.
3.7. Выключите компьютер.
ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
Отчет должен содержать: а) постановку задачи исследования; б) таблицы результатов расчетов; в)графики распределения примеси в полупроводниковой пластине для t 1 , t 2 иt 3 ; г) анализ полученных данных.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какие существуют методы введения примеси в полупроводник?
2. Какие параметры процесса входят в первый закон Фика?
3. Какие параметры процесса связывает второй закон Фика?
4. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из постоянного источника?
5. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из бесконечно тонкого слоя?
6. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из полубесконечного тела в полубесконечное?
7. Каков вид зависимостей erfz иerfcz ?
8. Какие параметры учитывают при выборе диффузианта?
9. Какие существуют механизмы диффузии?
10. Как осуществляется локальное введение примеси при диффузии?
Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки
При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил этот путь как расстояние, проходимое частицей жидкости до потери своей индивидуальности вследствие смешения с окружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характеризует перемешивающую способность потока. Это понятие используют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузионных процессах основным является процесс выравнивания содержания, путь перемешивания определяют как расстояние, которое проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследствие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выражение «потеря индивидуальности» толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания называется путем перемешивания для содержания.
Если воздушный поток представить как совокупность шарообразных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.
В общем случае пути перемешивания для импульса и для содержания не равны друг другу, хотя до недавнего времени последний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение может быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.
Путь перемешивания для содержания является важной газодинамической характеристикой, определяющей основной показатель интенсивности процесса турбулентной диффузии - коэффициент турбулентной диффузии.
Каждый из существующих четырех механизмов распространения газообразной примеси в вентиляционном потоке (конвективный, диффузионный молекулярный и диффузионный турбулентный переносы и распространение примеси путем вытеснения) характеризуется определенным количеством газа, переносимого газовым потоком через единицу площади в единицу времени. Соответственно отмеченным механизмам распространения существуют конвективный, молекулярный диффузионный, турбулентный диффузионный газовые потоки и "поток расширения".
Если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q в = U S . При содержании газа с в объеме Q в вектор его расхода через рассматриваемую поверхность за счет конвективного переноса потоком воздуха Q г = с Q в и вектор конвективного потока газа
J k = Q г / S= с U, (6.5)
а его компоненты по осям координат
j kx = cu; j ky = cv; j kz = cw; (6.6)
где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной скорости U .
При определении молекулярного диффузионного потока газа исходят из его пропорциональности градиенту содержания газа (первый закон Фика):
j м = - D м ·grad c , (6.7)
где D м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом молекулярной диффузии.
Компоненты молекулярного диффузионного потока:
j м x = -D м ·дс/дх; j м y = -D м ·дс/ду; j м z = -D м ·дс/дz. (6.8)
D м не зависит от координат.
Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление молекулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, т.е. поток, направлен в сторону падения содержания.
Турбулентный диффузионный поток газа можно выразить аналогично конвективному, используя, однако, вектор не усредненной, а пульсационной скорости u п и не усредненное, а пульсационное значение содержания с п . Тогда вектор мгновенного турбулентного диффузионного потока газа будет равен с п u п, а усредненного по времени
Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:
где и п , v п , w п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.
Турбулентный диффузионный поток, согласно идее Буссинеска о переносе импульса, определяют аналогично молекулярному, с той лишь разницей, что коэффициентом пропорциональности между потоком и градиентом содержания будет коэффициент турбулентной диффузии D т , зависящий от ее направления:
j т = - D т ·grad c , ; (6.11)
j т x = -D т x ·дс/дх; j т y = -D т y ·дс/ду; j т z = -D т z ·дс/дz, (6.12)
где D т x , D т y , D т z - компоненты коэффициента турбулентной диффузии.
Поток расширения - поток конвективный. Если некоторый объем газовоздушной смеси со средним по объему содержанием газа с расширяется за счет ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:
j р x = cu р ; j р y = cv р ; j р z = cw р ; , (6.13)
где u р ; v р ;w р - компоненты скорости расширения.
Поток расширения может быть положительным (газовыделение происходит в рассматриваемый объем) и отрицательным (в рассматриваемом объеме происходит поглощение газа).
Полный поток газа в точке
j 0 =j k +j м +j т +j р (6.14)
Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем балансе газопереноса в выработке определяется конкретными условиями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбулентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (например, камеры больших сечений) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффузионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диффузии и расширения (в случае выделения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентностью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз активнее молекулярного.
Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):
Аналогично определяется соотношение между компонентами потоков. Так, для поперечных относительно основного движения воздушного потока компонент
Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечного сечения 10 м 2 . Удельное газовыделение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м 2). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделение на рассматриваемом участке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м 3 /мин. Следовательно, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и р = 0,3: (10·2) = 1,5·10 -2 м/мин. Если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10 -2 = 7,5·10 -5 м 3 /(мин·м 2). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и равном 0,5·10 -5 м -1 , продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10 -8 м 3 /(мин·м 2), продольный турбулентный -10 -5 м 3 /(мин·м 2).
В выражениях для диффузионных газовых потоков коэффициенты молекулярной и турбулентной диффузии являются единственными параметрами, учитывающими свойства среды. Естественно, что эти величины имеют сложный характер, и их определение - одна из важных задач теории диффузионных процессов.
Коэффициенты молекулярной диффузии . Для газов со сходными молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффициента молекулярной диффузии:
,
где - длина свободного пробега молекул; v м - скорость их теплового движения; черта означает среднее значение величины. При нормальных условиях имеет порядок 10 -5 см, v м = 10 -4 ÷10 -5 см/с.
В силу статистической однородности молекулярного движения величины и , а, следовательно, и коэффициент молекулярной диффузии не зависят от направления. Коэффициент молекулярной диффузии слабо зависит от содержания диффундирующего газа. С увеличением температуры он возрастает пропорционально Т 1+ a , где Т - абсолютная температура среды, а - коэффициент, изменяющийся от 0,5 до 1. С увеличением давления коэффициент уменьшается в обратно пропорциональной зависимости.
Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диффузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Кроме того, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относительно невелики. Поэтому при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.
Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффузии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии среды в этот газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.
Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с
Аммиак в воздухе 0 0,217
Водород в воздухе - 0,634
Метан в воздухе - 0,196
Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138
Углекислый газ в воздухе 0 0,142
Коэффициенты турбулентной диффузии . В теории турбулентности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вводится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.
В первом способекоэффициент турбулентной диффузии определяют, следуя Буссинеску, как коэффициент пропорциональности между потоком газа и градиентом содержания в соответствии с формулой (6.11) - j т = - D т ·grad c .
Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не может быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вследствие различия компонент пульсационных скоростей.
Таким образом, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор. Можно показать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выражение:
(6.17)
(6.18)
(i ,j = х,у,z )является тензором коэффициентов турбулентной диффузии второго ранга с компонентами D т xx , D т xу, ..., D т zz .
Выражение (6.17) может быть записано в свернутом виде
. (6.19)
где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).
Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. Если тензор симметричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диагональными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .
Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,
В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.
В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинеарны*. Следовательно, согласно определению, направление вектора gradс является главным направлением тензора, а ось координат, соответствующая ему, - главной осью. Нахождение главных осей тензора коэффициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неопределенная, так как для этого необходимо знать поверхности равных содержаний в потоке, т.е. поле содержаний, что обычно является конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления могут быть определены достаточно просто. Например, при газовыделении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому боку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случаях главные оси тензора могут иметь и другие направления.
Следует отметить, что принятие тензора D т y
симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также определенным допущением. Для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выработке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэффициентов турбулентной диффузии могут быть выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и
ni
и пути перемешивания для содержания 
(здесь i
,j
= х, у, z, и
ni
= и п
; u
пу
=
v
n u
nу
=w
n). Для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . Однако для неизотропных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i
и j
, а это не отвечает приведенным равенствам. Несимметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фактором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.
Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в приземном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). Однако степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосферных, что может привести к необходимости учета факта несимметричности тензора диффузии.
Второй способопределения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:
.
(6.21)
Здесь, подобно тому, как это было принято в выражении (6.19) - , суммирование производится по двойному индексу (j
); i = j = х,у,z;
; L c
- путь перемешивания для содержания.
Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга
(6.22)
определяемым девятью компонентами -
Сопоставляя методы выражения коэффициента турбулентной диффузии по Буссинеску и Прандтлю, видим, что в первом случае коэффициент турбулентной диффузии остается неопределенным, во втором - определяется через характеристики турбулентного движения ().
В случае плоского потока (
) коэффициент турбулентной диффузии в поперечном к основному движению направлении определяется из выражения (6.21):
В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству
т.е. в этом частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.
Если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим выражение
, (6.24)
где среднее квадратичное значение v п
а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. Если принять, что
L / L с = а 2 = сопst, (6.25)
.
(6.26)
Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).
Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы относительно величин l С
(),
можно, измеряя в потоке, определить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым допущением является отождествление l с
путем перемешивания для импульса l
; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.
Следующим шагом в этом направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропорциональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объеме и в среде. По имеющимся сведениям, этот коэффициент больше 1; для азота он равен ~, для гелия ~. Имеются попытки оценить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затухание турбулентности под действием объемных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.
Наконец, третий способ определения коэффициента турбулентной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентрированных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в этом случае коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:
,
где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины случайные, являющиеся функцией времени.
Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. В настоящее время практически ничего неизвестно о недиагональных компонентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты написания обозначим D т xx = D тх и т.д.
Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбулентной диффузии является функцией координат. Это можно видеть, например, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длине выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зависимости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.
Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных выработках немногочисленны, что в значительной степени объясняется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведения частично основываются на данных о коэффициенте турбулентного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии .
К.М. Тумаковой были установлены автомодельность поперечных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:
; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - высота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных составляющих коэффициента диффузии. Их значения в ядре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.
В ряде случаев хорошие результаты получаются, если использовать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициентов турбулентной диффузии.
Коэффициент турбулентной диффузии может быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Для случая однородной и изотропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без градиента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:
, (6.27)
где с - содержание газа в точке с координатами х,у;z - расстояние от источника вниз по потоку; у - расстояние от точки, соответствующей максимальному содержанию газа с mах в плоскости х = соnst, измеряемое в направлении, перпендикулярном направлению движения воздуха; и - скорость потока воздуха.
Если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . Например, полагая с = с mах /2, получим
D т =, (6.28)
где - расстояние от оси газового факела до точки в его поперечном сечении, в которой с = с mах /2.
Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измерению: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента, - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.
Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффузии, не зависящие от координат.
Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных потоков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направлении основного течения (при неизменных форме сечения, шероховатости стен и расходе воздуха). Поэтому для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компоненты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источник попадает в области все большего градиента скорости, т.е. все большей анизотропии турбулентности.
Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при течениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахтных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рамной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относительной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, горизонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 приведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата, перпендикулярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относительных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные производится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линейный размер потока (например, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.
Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)
Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ширина выработки)
Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:
модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с ..........................................1,1
квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,
скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1
то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8
квершлаг без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 11,8 м 2 , скорость воздушной струи 1,7 м/с .......................................................5,1
то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8
штрек без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 10 м 2 , скорость воздушной струи 0,27 м/с ...............................................................0,8
Для расчета продольных D т x и поперечных D т y компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.
Для штрекообразных выработок
; (6.29)
, (6.30)
где 
, а число Рейнольдса не рассчитывается по .
Для элемента S (м 2) поперечного сечения штрекообразной выработки при средней скорости по площади элемента и" ср (м/с):
. (6.31)
Для круглых гладких и шероховатых труб
, (6.32)
где R - радиус трубы.
Для широкого прямого канала
. (6.33)
Для диффузии углекислого газа в воздухе
где k : = 3,96·10 -4 м.
В формулах (6.29)-(6.33) использованы следующие обозначения:
Н- высота выработки, м;
Динамическая скорость, м/с;
u ср - средняя скорость воздушной струи, м/с;
α - коэффициент аэродинамического сопротивления, Н·с 2 /м 4 ;
r -плотность воздуха, кг/м 3 ;
ν - кинематический коэффициент вязкости, м 2 /с;
S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 .
По этим формулам для некоторых средних условий (u ср = 1 м/с; Н= 2,5 м, = 0,1 м/с; R = 1 м) значения компонент D т x , D т y составляют порядка 10 -3 м /с.
Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеивание газа в потоке за счет работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) скорости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.
В 1951 г. В.Н. Воронин показал, что при движении газового облака по выработке его продольная деформация определяется профилем скоростей. В 1953 г. Дж. Тэйлор опубликовал решение задачи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рассеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсациями скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, движущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D Э:
D Э = D г = D тх , (6.35)
Коэффициент D э может быть определен в точке или быть усредненным.
Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили получить следующее выражение для эффективного коэффициента диффузии штрекообразной выработки:
;
(6.37)
по И.Ф. Ярембашу
. (6.38)
Здесь v - кинематический коэффициент вязкости воздуха, м 2 /с; u ср, - средняя скорость воздушного потока, м/с; D - диаметр выработки, м; α - коэффициент аэродинамического сопротивления выработки, Н·с 2 /м 4 ; S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 ; r - плотность воздуха, кг/м 3 .
К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эффективного коэффициента диффузии:
, (6.39)
где
, а число Рейнольдса рассчитывают по . Значение D
э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии
Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.
Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости канала на коэффициент диффузии, сделали вывод, что этот фактор может увеличивать D э до двух раз.
Для изучения газодинамических процессов при действии свободных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с я к среднему содержанию на ее границе с гр:
Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.
Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:
для основного участка круглой струи
k т = 1÷1,84А ; (6.41)
для основного участка плоской струи
k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)
В приведенных формулах
(6.43)
, (6.44)
где R Я - радиус ядра постоянной массы; и - скорость в точке с координатами х , у; и 0 - осевая скорость; φ я - относительная координата границы ядра постоянной массы;
а - коэффициент структуры свободной струи, зависящий от начальных турбулентности и профиля скорости (по В.Н. Воронину, для круглой струи а = 0,044÷0,053, для плоской а = 0,09÷0,12).
Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитанные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.
Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объемах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объемах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограниченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим изменением коэффициента структуры а.
Рис. 6.4. Зависимость k т от для круглой (а) и аl/b 0 для плоской (б) струй (l - длина струи, S - площадь ее начального сечения)
С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:
для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при
n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).
При п < 2,33 коэффициент структуры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;
для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33
а = 0,062 (п -0,5)
При n <2,33 а = 0,034;
для плоской струи при п > 3,12
а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),
а при п <3,12
а = 0,085 .
Подобное явление было установлено при распространении свободных ветровых струй в карьерах.
По В.Н. Воронину, коэффициент турбулентной диффузии струи, и начальном сечении которой уже имеется некоторое количество газа с содержанием с 0 (частично загазованная струя), определяется по формуле
. (6.46)
При этом принимается, что коэффициент турбулентной диффузии не зависит от турбулентной структуры газовоздушной среды вне свободной струи, т.е. газообмен между струей и средой определяется лишь течением в струе, а это, видимо, справедливо только для затопленных струй, распространяющихся в неограниченном пространстве. Поскольку через границу свободной струи происходит обмен турбулентными массами, то турбулентная структура струи должна зависеть от структуры движения и энергии привносимых в нее извне масс. При исследованиях затопленных струй, распространяющихся в ограниченных пространствах (карьеры, тупиковые выработки, камеры и т.п.), была установлена завиисимость их угла раскрытия [а следовательно, в соответствии с формулой (6.36) - 
и коэффициента структуры струи] от геометрии ограничивающих поверхностей, что должно быть связано с турбулентной структурой вторичных токов, заполняющих пространство между ограничивающими поверхностями и границей свободной струи*.
В общем случае структура вторичных токов должна зависеть от начального расхода воздуха в струе, и для точного описания газообменных процессов, связанных с распространением свободных струй, с помощью коэффициента турбулентной диффузии В.Н. Воронина необходимо определить зависимости его от диффузионных свойств внешней среды (например, от коэффициента диффузии D т.
Более строгим является исследование процессов газопереноса в свободных струях на основе ранее рассмотренных коэффициентов турбулентной диффузии и эффективных коэффициентов диффузии. Исследования для их установления применительно к струйным движениям в горных условиях были выполнены К.Ю. Лайгна, Э.А. Поттером и О.А. Суллакатко. Ими впервые получены выражения для расчета коэффициентов турбулентной диффузии ограниченной (степенной) струи , в частности, для эффективных коэффициентов продольной турбулентной диффузии:
круглая турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10 3:
плоская турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10:
(6.49)
Здесь - коэффициент стеснения струи; S - площадь поперечного сечения выработки; d - начальный диаметр струи; и - средняя начальная скорость струи; Н, В - соответственно высота и ширина выработки; b - начальная ширина струи.
ТЕМА №7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ШАХТАХ
